行列の質問です。

n×mの行列Aとm×n行列Bについて、In+ABが正則のとき以下を証明せよ.。(Inはn×nの単位行列)

(1) (In+AB)^-1A=A(Im+BA)^-1
(2) (In+AB)^-1=In-A(Im+BA)^-1B

Im+BAは正則であることもわかりませんでした。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： reiman 回答日時： 2014/07/08 17:56

In+ABが正則でIm+BAが正則かどうか分からないのときは以下の様になる

(2)
In=(In+AB)^-1(In+AB)
A=(In+AB)^-1(In+AB)A
A=(In+AB)^-1(A+ABA)
A=(In+AB)^-1A(Im+BA)
BA=B(In+AB)^-1A(Im+BA)
Im+BA=Im+B(In+AB)^-1A(Im+BA)
(Im+BA)-B(In+AB)^-1A(Im+BA)=Im
(Im-B(In+AB)^-1A)(Im+BA)=Im
よってIm+BAは正則であり
(Im+BA)^-1=Im-B(In+AB)^-1A

また
Im=(Im+BA)^-1(Im+BA)
B=(Im+BA)^-1(Im+BA)B
B=(Im+BA)^-1(B+BAB)
B=(Im+BA)^-1B(In+AB)
AB=A(Im+BA)^-1B(In+AB)
In+AB=In+A(Im+BA)^-1B(In+AB)
(In+AB)-A(Im+BA)^-1B(In+AB)=In
(In-A(Im+BA)^-1B)(In+AB)=In
よって
(In+AB)^-1=In-A(Im+BA)^-1B

(1)
A+ABA=A+ABA
A(Im+BA)=(In+AB)A
(In+AB)^-1A(Im+BA)=A
(In+AB)^-1A=A(Im+BA)^-1

この回答へのお礼

やっと納得できました。ありがとうございます。

お礼日時：2014/07/08 18:23

No.2 回答者： reiman 回答日時： 2014/07/08 17:32

(1)

A+ABA=A+ABA
A(Im+BA)=(In+AB)A
(In+AB)^-1A=A(Im+BA)^-1

(2)
Im=(Im+BA)^-1(Im+BA)
B=(Im+BA)^-1(Im+BA)B
B=(Im+BA)^-1(B+BAB)
B=(Im+BA)^-1B(In+AB)
AB=A(Im+BA)^-1B(In+AB)
In+AB=In+A(Im+BA)^-1B(In+AB)
(In+AB)-A(Im+BA)^-1B(In+AB)=In
(In-A(Im+BA)^-1B)(In+AB)=In
よって
(In+AB)^-1=In-A(Im+BA)^-1B

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
１つ疑問があります。Im+BAは正則といえるのでしょうか？

お礼日時：2014/07/08 17:53

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/07/08 16:54

(2) は簡単じゃない?