部分空間について

下の問題が部分空間かどうかという問題なのですが、多分部分空間ではないのだと自分なりに予想はつきます。しかしこれといった根拠(どの様に導いていくのか)がありません。分かる方がいらしたら教えてください、お願いします。

Ｗ＝{Ａ∈Ｍｎ(Ｒ)｜Ａは正則}は部分空間であるか？

No.4 ベストアンサー 回答者： seven_triton 回答日時： 2003/05/22 13:09

和について閉じていないことを示す方法なら，それで結構です。

単位行列も，それに-1をかけた行列も正則ですが，その和は正則ではないのですね。これでＷが部分空間ではないことが示されましたね。
スカラー倍で閉じていないことを示す方法なら，
「0をかけた時を考えると全体は0となり、閉じていないので部分集合ではない」
というのはちょっとまずいかも。まず，「部分集合」ではなくて「部分空間」ですね。気をつけましょう。それから，
「0をかけた時を考えると全体は0となり、」
のところですが，まあこれでいいですが，もっと具体的に，たとえば
「単位行列は正則だが，それに０をかけると正則ではない」
などと，具体的な例をひとつ挙げた方がいいでしょう。ひとつでもあればいいわけですから。

この回答へのお礼

適切なご指導をいただき、ありがとうございました。
ようやく解決しました。

お礼日時：2003/05/22 19:33

No.3 回答者： F0ur1er 回答日時： 2003/05/21 21:43

#1です。

間違えましたｍ(__)ｍ

#2さんの言うとおり、部分空間は和とスカラー倍
で閉じていることを示すんでしたね…

この回答へのお礼

わざわざご説明いただきありがとうございました。
参考にさせていただきます。

お礼日時：2003/05/22 19:32

No.2 回答者： seven_triton 回答日時： 2003/05/21 20:30

下の回答は，WがMn(R)の「部分集合」であることを示しているんですね。

でもここでは，「部分空間」であることを示したいので，それでは不十分です。（「部分空間」であるためには「部分集合」であることが当たり前ですが必要です。が，もちろん十分ではありません。）
結論から言うと，Wは部分空間ではありません。部分空間とは，和とスカラー倍で閉じている部分集合のことですから，例えば和で閉じてないことを言えばいいわけです。つまり，正則行列の和なのに正則でないものを一組見つければいいのです。さあ，考えてみてください。思ったより簡単ですよ。
というか，スカラー倍で閉じていないことを示す方が簡単ですね。

この回答への補足

アドバイスありがとうございました。
一応考えたのですが、スカラー倍で閉じていないことを示すという方法を用いる時、
「0をかけた時を考えると全体は0となり、閉じていないので部分集合ではない」
という風に考えてよいのでしょうか？
あと、和の方は対角成分が（1、1）と（－1、－1）のものを足すと全体が0になるから、見たいな感じでよいのですか？ご指導お願いします。

補足日時：2003/05/22 00:30

No.1 回答者： F0ur1er 回答日時： 2003/05/21 20:02

こんにちわ。

ちょっと定義が不十分なので以下の通りに解釈してお答えします。
Ｍｎ(Ｒ)はｎ次の実正方行列全体の集合とする。
示したいことは、Ｗ⊂Ｍｎ(Ｒ)ではないこと。
しかし、これは明らかに
Ｗ⊂Ｍｎ(Ｒ)
が成り立ちます。なぜなら、
Ａが正則行列であるためにはまず、Ａが正方行列である必要があります。
言い換えれば、Ｍｎ(Ｒ)の中で特別なものがＷなのです。
正則行列なら逆行列が存在しますが、Ｍｎ(Ｒ)には逆行列が存在しないものもありますよね。

もし解釈に誤りがありましたら補足してください。