基本ベクトルが互いに直交するとき、表現行列の成分に関わらず像も単位ベクトルになるのはなぜ？

線形代数というこちらの書籍を読んでいて疑問を抱いた箇所がありました。
https://www.morikita.co.jp/books/book/349
以下は当該箇所の引用です。

> 線形変換の中でも原点を中心とした回転や原点を通る直線に関する対象移動は図形の形と大きさを変えない。いま、fをその性質を持つ線形変換とし、fの表現行列を
> A=(a b)
> (c d)
>とする。このとき、基本ベクトルe1, e2は互いに直交する単位ベクトルであるから、それらの像も互いに直交する単位ベクトルである。

表現行列Aの全成分が1であれば、その像も単位ベクトルになると思いますが、なぜ表現行列Aが（恐らく）任意の定数a,b,c,dで構成されている場合にも、像が単位ベクトルになるといえるのでしょうか？
表現行列の成分が1より大きい時点で、その像は単位ベクトルではなく単位ベクトルを定数倍したベクトルになると私は認識しています

ご教示よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/04/26 01:28

「図形の形と大きさを変えない」のだから, 単位正方形は単位正方形に移る.

もちろん a, b, c, d は「完全に任意」にはとれない.

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/04/26 17:47

Aは「直交行列」なんだけど、その正確な定義を調べてみよう。

a,b,c,d は全然任意じゃないから、この質問は全くちぐはぐ。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/26 18:55

A は図形の形と大きさを変えない線形変換

と条件付けられているのだから、
その成分 a,b,c,d は「任意の定数」ではない。