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線形写像f:V→Wに対して、V*からW*(それぞれV,Wの双対空間)の線形写像tfにを考えると、この時tfが転置行列に相当するらしいのですが、なぜそうなるのか分かりません。

V=K^n,W=K^m、f(x)=Ax,Aはm×n行列とした場合に教えてください。

A 回答 (1件)

問題が正しいですか?


ちがうでしょう?
W*からV*でしょう.

f:V->Wに対して,f*:W*->V*(質問ではtfと書かれているが
慣習にしたがってf*と書くことにする)の定義は
f*(φ)(v)=φ(f(v))(φはW*の元,vはVの元)
であるので,
あとは,普通にVとWの基底をとって,fの表現行列をとって
それからその基底に対する
V*とW*の双対基底をとって
f*を行列表現すれば終わり.

Vの基底を{v1,v2,...,vn},
Wの基底を{w1,wn,...,wm}とすれば,fの表現行列A=(aij)は
(f(v1),f(v2),....,f(vn))=(w1,w2,...,wm)(aij)
と表される.
V*の双対基底を{v*1,v*2,...,v*n},
W*の基底を{w*1,w*n,...,w*m}とすれば
Vの基底の元viに対して
(f*(w*1)(vi),...,f*(w*m)(vi))
=(w*1(f(vi)),...,w*m(f(vi)))
=(w*1(a1iw1+…+amiwm),...,w*m(a1iw1+…+amiwm))
=(a1i,...,ami)
これより
v=x1v1+…+xnvnに対して
f*(w*j)(v)
=x1aj1+…+xnajn
=v*1(v)aji+…+v*n(v)ajn
であるので
f*(wj)=v*1 aj1+…+v*n ajn
(Aij)=(aji)とおくと
f*(wj)=v*1 A1j+…+v*n Anj
つまり,
(f*(w*1),...,f*(w*m))=(v*1,...,v*n)(Aij)
つまり,f*の表現行列は(Aij)=(aji)で転値行列.

なおこれは一般の有限次元ベクトル空間で有効な証明.
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この回答へのお礼

W*からV*の間違いです。
分かりやすく教えていただきありがとうございます。

お礼日時:2009/11/03 00:58

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