行列の方程式２

前に質問した問題の続きなのですが、
A,Bをそれぞれm次、n次の複素行列、
X,Cをそれぞれm*n複素行列としたとき、Xに対する方程式AX-XB=Cを考える。
このときA,Bが共通の固有値を持たないならばＸが一意に定まることを示せ。
という問題なのですが、おそらく適当な正則行列を用いてA,Bが上三角化できるというのを使うんだろうと思うんですが……
どなたか分かる方、お教えください。

No.3 回答者： guuman 回答日時： 2007/06/29 15:45

もっと丁寧に書くと

JをジョルダンとしてPを正則行列として
J=P^-1・A・Pとし
KをジョルダンとしてQを正則行列として
Q^-1・(P^-1・B・P)・Q=Kとする

このとき
A・X-X・B=C
を
J・X'-X'・K=C'
の形に変形したときの
X'をX,P,Qで表し
C'をC,P,Qで表したものを補足に書け

No.2 回答者： guuman 回答日時： 2007/06/28 21:11

ジョルダンを使わなくてもいいが有名で忘れがたいので使えばよい

Aがジョルダン形Jに相似で
Bがジョルダン形Kに相似とすると
A・X-X・B=C
は適当な正則行列P,Q,R,Sをつかって
Y=P・X・QかつD=R・C・Sとおけば
J・Y-Y・K=Dとなる

P,Q,R,Sを求めて補足に書け

No.1 回答者： ninigi 回答日時： 2007/06/28 19:31

「一意に定まることを示す」時の常套手段ですね。

二つの行列XとX'が共に
　
　AX - XB = C
　AX' - X'B = C
　
を満たす場合に、X=X'となる事を示せばいい訳です。
上の式から下の式を引いて、さらにY=X-X'とおくと
　
　AY = YB
　
となるので、AとBが共通の固有値を持たないという仮定からYが0行列であることを示せれば証明終わりです。
背理法を使えば簡単な計算で証明できるので、やってみて下さい。