No.4ベストアンサー
- 回答日時:
要するにその問題文が間違ってないなら、反例A=Eを挙げて偽と言えば終了ですね。
----------------
A^3=Eより、det(A^3)=det(A)^3=1
よって、Aは行列式が1の3乗根であるような行列。
Aが実行列ならば当然det(A)=1
[a] det(A-E)≠0 (⇔(A-E)が正則) のとき
(A-E)(A^2+A+E)=0の左から(A-E)^-1をかけて、A^2+A+E=0を得る。
[b] det(A-E)=0 (⇔ det(A)-tr(A)+1=0 ⇔ tr(A)=2 ) のとき
HC定理より、A^2-2A+E=0
よって、A^2+A+E=3A
tr(A)=2よりA≠0だから、A^2+A+E≠0
(明らかに[b]の場合はA=Eの形です。)
----------------
A^3=Eという条件は、複素数の方程式z^3=1と一対一で対応しています。
z=1は[b]に、zが1の原始三乗根ωあるいはω^2である場合は[a]に対応します。
当然、1の原始三乗根ωには、ω^2+ω+1=0が成り立ちますが、z=1ではそうなりません。
ω,ω^2に対応する行列Aは原点中心±120度回転の一次変換を表す行列です。
(当然この変換は3乗すれば恒等変換になり、ω^3=1と対応します。)
なおAは実行列として話を進めましたが、複素行列だとしてもdet(A)=ωになるだけで、
No.3さんの方法と同様、[b]のときAがEの定数倍で表せることになり、A^2+A+E≠0となります。
No.3
- 回答日時:
Aの(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)成分をa,b,c,dとおいて
(A-E)(A^2+A+E)=O ここで(A-E)が逆行列をもつとき詳しい計算により
(ad-bc)-(a+d)+1=k(kは0でない定数)
またケイリーハミルトンの定理から
A^2+A+E=(a+d+1)A-(ad-bc-1)E また上式から
=(a+d+1)A-(a+d-k-2)E
仮にA^2+A+Eが0ならA=tEとなるtが少なくとも一つ存在しA^2+A+E
に代入しても0にならない。(A-E)が逆行列をもたないとき
(ad-bc)-(a+d)+1=0となって
A^2+A+E=(a+d+1)A-(a+d-2)E
ここでA^2+A+E=0だと仮定すればこれもA=sE(sはある定数)
であらわせるからA^2+A+Eに代入しても0にならない。
従って矛盾が生じたのでA^2+A+E=0だと限らない。
あわててやってしまったので初めの回答は間違えてすみません。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 直交行列について 1 2023/01/22 15:07
- 数学 直交行列 1 2023/01/22 22:37
- 数学 行列について 2 2023/01/19 21:47
- 数学 対角化 1 2023/01/22 17:46
- 数学 行列の問題が分かりません。 3次正則行列Aの列ベクトル分割をA=(a1 a2 a3)とおくとき,次を 4 2022/06/23 08:34
- 数学 代数学のわからない問題を教えて頂きたいです。 つぎのn次正方行列の集合Hはn次一般線形群GL(n,R 5 2022/11/19 20:47
- 数学 線形代数 正則 階数 3 2023/03/22 07:52
- 大学・短大 N次実行列Tに対して、T^2が直行行列のとき、なぜTも直行行列になるのでしょうか。 詳しい方よろしく 1 2022/12/29 16:33
- 高校 行列のかけ算 2 2022/06/24 17:12
- Excel(エクセル) エクセルの印刷範囲をページ単位で可変にする方法 3 2022/05/23 13:04
おすすめ情報
- ・「みんな教えて! 選手権!!」開催のお知らせ
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・【選手権お題その2】この漫画の2コマ目を考えてください
- ・2024年に成し遂げたこと
- ・3分あったら何をしますか?
- ・何歳が一番楽しかった?
- ・治せない「クセ」を教えてください
- ・【大喜利】看板の文字を埋めてください
- ・【大喜利】【投稿~12/17】 ありそうだけど絶対に無いことわざ
- ・【選手権お題その1】これってもしかして自分だけかもしれないな…と思うあるあるを教えてください
- ・【穴埋めお題】恐竜の新説
- ・我がまちの「給食」自慢を聞かせてっ!
- ・冬の健康法を教えて!
- ・一番好きな「クリスマスソング」は?
- ・集合写真、どこに映る?
- ・自分の通っていた小学校のあるある
- ・フォントについて教えてください!
- ・これが怖いの自分だけ?というものありますか?
- ・スマホに会話を聞かれているな!?と思ったことありますか?
- ・それもChatGPT!?と驚いた使用方法を教えてください
- ・見学に行くとしたら【天国】と【地獄】どっち?
- ・これまでで一番「情けなかったとき」はいつですか?
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・あなたの「必」の書き順を教えてください
- ・10代と話して驚いたこと
- ・14歳の自分に衝撃の事実を告げてください
- ・人生最悪の忘れ物
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・都道府県穴埋めゲーム
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
おすすめ情報