10秒目をつむったら…

A:2次正方行列,E:単位行列のとき,
「A^3=E ⇒ A^2+A+E=O」
は真ですか?

真ならば,証明も教えていただきたく思います。

よろしくお願いいたします。

A 回答 (4件)

要するにその問題文が間違ってないなら、反例A=Eを挙げて偽と言えば終了ですね。



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A^3=Eより、det(A^3)=det(A)^3=1
よって、Aは行列式が1の3乗根であるような行列。
Aが実行列ならば当然det(A)=1

[a] det(A-E)≠0 (⇔(A-E)が正則) のとき
(A-E)(A^2+A+E)=0の左から(A-E)^-1をかけて、A^2+A+E=0を得る。

[b] det(A-E)=0 (⇔ det(A)-tr(A)+1=0 ⇔ tr(A)=2 ) のとき
HC定理より、A^2-2A+E=0
よって、A^2+A+E=3A
tr(A)=2よりA≠0だから、A^2+A+E≠0
(明らかに[b]の場合はA=Eの形です。)

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A^3=Eという条件は、複素数の方程式z^3=1と一対一で対応しています。
z=1は[b]に、zが1の原始三乗根ωあるいはω^2である場合は[a]に対応します。
当然、1の原始三乗根ωには、ω^2+ω+1=0が成り立ちますが、z=1ではそうなりません。
ω,ω^2に対応する行列Aは原点中心±120度回転の一次変換を表す行列です。
(当然この変換は3乗すれば恒等変換になり、ω^3=1と対応します。)

なおAは実行列として話を進めましたが、複素行列だとしてもdet(A)=ωになるだけで、
No.3さんの方法と同様、[b]のときAがEの定数倍で表せることになり、A^2+A+E≠0となります。
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Aの(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)成分をa,b,c,dとおいて


(A-E)(A^2+A+E)=O ここで(A-E)が逆行列をもつとき詳しい計算により
(ad-bc)-(a+d)+1=k(kは0でない定数)
またケイリーハミルトンの定理から
A^2+A+E=(a+d+1)A-(ad-bc-1)E また上式から
     =(a+d+1)A-(a+d-k-2)E

仮にA^2+A+Eが0ならA=tEとなるtが少なくとも一つ存在しA^2+A+E
に代入しても0にならない。(A-E)が逆行列をもたないとき
(ad-bc)-(a+d)+1=0となって
A^2+A+E=(a+d+1)A-(a+d-2)E
ここでA^2+A+E=0だと仮定すればこれもA=sE(sはある定数)
であらわせるからA^2+A+Eに代入しても0にならない。
従って矛盾が生じたのでA^2+A+E=0だと限らない。
あわててやってしまったので初めの回答は間違えてすみません。
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明らかにA=Eだったら真ではありませんよ。

だからAが2次正方行列なら
というのは間違い。AがEでない2次正方行列である条件のもとでは

A^3-E=(A-E)(A^2+A+E)=O
今AはEでないからA^3=EならA^2+A+E=O
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

ただ,
(A-E)(A^2+A+E)=OかつA≠E ⇒ A^2+A+E=O
としてよいのでしょうか?
零因子の可能性もあるのではないかと。

お礼日時:2009/02/11 21:08

>は真ですか?


いいえ。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

某有名問題集に
「A^3=EのときA^2+A+E=0であることを示せ」
といった内容の問題があったのですが,誤りでしょうか?

お礼日時:2009/02/11 21:03

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