2次正方行列について

A:2次正方行列，E:単位行列のとき，
「A^3=E ⇒ A^2+A+E=O」
は真ですか？

真ならば，証明も教えていただきたく思います。

よろしくお願いいたします。

No.4 ベストアンサー 回答者： KI401 回答日時： 2009/02/11 23:43

要するにその問題文が間違ってないなら、反例A=Eを挙げて偽と言えば終了ですね。

----------------

A^3=Eより、det(A^3)=det(A)^3=1
よって、Aは行列式が1の3乗根であるような行列。
Aが実行列ならば当然det(A)=1

[ａ] det(A-E)≠0 (⇔(A-E)が正則) のとき
(A-E)(A^2+A+E)=0の左から(A-E)^-1をかけて、A^2+A+E=0を得る。

[ｂ] det(A-E)=0 (⇔ det(A)-tr(A)+1=0 ⇔ tr(A)=2 ) のとき
HC定理より、A^2-2A+E=0
よって、A^2+A+E=3A
tr(A)=2よりA≠0だから、A^2+A+E≠0
（明らかに[ｂ]の場合はA=Eの形です。）

----------------

A^3=Eという条件は、複素数の方程式z^3=1と一対一で対応しています。
z=1は[ｂ]に、zが1の原始三乗根ωあるいはω^2である場合は[ａ]に対応します。
当然、1の原始三乗根ωには、ω^2+ω+1=0が成り立ちますが、z=1ではそうなりません。
ω,ω^2に対応する行列Aは原点中心±120度回転の一次変換を表す行列です。
（当然この変換は3乗すれば恒等変換になり、ω^3=1と対応します。）

なおAは実行列として話を進めましたが、複素行列だとしてもdet(A)=ωになるだけで、
No.3さんの方法と同様、[ｂ]のときAがEの定数倍で表せることになり、A^2+A+E≠0となります。

No.3 回答者： noname#96505 回答日時： 2009/02/11 22:36

Aの(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)成分をa,b,c,dとおいて

(A-E)(A^2＋A＋E)=O ここで(A-E)が逆行列をもつとき詳しい計算により
(ad-bc)-(a＋d)＋1=k(kは0でない定数)
またケイリーハミルトンの定理から
A^2＋A＋E=(a＋d＋1)A-(ad-bc-1)E また上式から
　　　　 =(a＋d＋1)A-(a＋d-k-2)E

仮にA^2＋A＋Eが0ならA=tEとなるtが少なくとも一つ存在しA^2＋A＋E
に代入しても0にならない。(A-E)が逆行列をもたないとき
(ad-bc)-(a＋d)＋1=0となって
A^2＋A＋E=(a＋d＋1)A-(a＋d-2)E
ここでA^2＋A＋E=0だと仮定すればこれもA=sE(sはある定数)
であらわせるからA^2＋A＋Eに代入しても0にならない。
従って矛盾が生じたのでA^2＋A＋E=0だと限らない。
あわててやってしまったので初めの回答は間違えてすみません。

No.2 回答者： noname#96505 回答日時： 2009/02/11 21:02

明らかにA=Eだったら真ではありませんよ。

だからAが2次正方行列なら
というのは間違い。AがEでない2次正方行列である条件のもとでは

A^3-E＝(A-E)(A^2＋A＋E)=O
今AはEでないからA^3=EならA^2＋A＋E=O

この回答へのお礼

ありがとうございます。

ただ，
(A-E)(A^2＋A＋E)=OかつA≠E ⇒ A^2+A+E=O
としてよいのでしょうか？
零因子の可能性もあるのではないかと。

お礼日時：2009/02/11 21:08

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/02/11 20:58

>は真ですか？

いいえ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

某有名問題集に
「A^3=EのときA^2+A+E=0であることを示せ」
といった内容の問題があったのですが，誤りでしょうか？

お礼日時：2009/02/11 21:03