合成変換とケーリーハミルトン

合成変換とケーリーハミルトン

ある行列Aとそのn乗A^nを求める問題があり、
おそらくケーリーハミルトンと余剰を利用して解く問題だと思ったのですが、
得られた行列Aのケーリーハミルトンの式がうまく因数分解できずに
(複素数になる)詰まってしまいました。

それでAを求める過程でAの合成変換(f?f)を(f?f)=A^2=(a+d)A-(ad-bc)Eで
置き換えたのが不味かったのかと思ったのですが、この操作は問題ありませんでしょうか。
あと因数分解を使わずに、高校数学の範囲でA^nを求める方法はありますか。
複素数を解に含むのはスマートじゃあないですよね。

バタバタした文章ですいません。困っています。よろしくお願いします。
なお申し訳ないのですが問題自体は事情があって出すことはできません。

No.2 ベストアンサー 回答者： zux 回答日時： 2010/07/28 01:48

C.H.を使うあたり2x2の行列だと思うんですが

知ってるかはわかりませんが

Aに関する行列方程式

A^2 - pA + qE = 0

が与えられたときの一般解は
x^2 - px + q = 0 の解をα,βとすれば

αE,βE もしくは"trA=pかつdetA=qとなるような行列"となります

これは普通の問題を解くのを一般の場合についてとけば証明できます
当然ですがα,βの範囲は複素数です

次に
n乗を求めるのにはjordan blockの辺りを使うといいと思います

A=(abcd)←左上右上左下右下の順だと思ってください
この行列Aは

A^2-(a+b)A+(ad-bc)E=0

を満たす。よってa_2(←この2は添え字です),b_2を考え
a_2=a+b,b_2=-(ad-bc)とおけば

[1] A^2=a_2・A+b_2・E

これの反復利用か帰納法でA^n(n?2 ←実際のとこn=1は自明何でnは自然数ですね)は

[2] A^n=a_n・A+b_n・E

とあらわせることがわかる
このとき証明過程から係数について

(a_n+1)=(a_2 1)(a_n)
(b_n+1) (b_2 0)(b_n) ←上下でカッコ繋がってます(行列的な)
わかりにくければ展開してください
次の式変形でバリバリ使います

ちなみにn=1のときは自明な式A=Aから
a_1=1,b_1=0がでます(後で何気に必要です)

λ^2-(a+d)λ+ad-bc=0 つまり
λ^2 -a_2・λ -b_2=0 の解をλ=α,βとして
(方程式の解ですからλに代入した式が成り立ちますし、使いますので注意してください)

αa_n+b_n,とβa_n+b_nについて考える

まず
αa_n+b_n
=(α・a_2 + b_2)a_n-1+α・b_n-1
=α^2・a_n-1+α・b_n-1
=α(αa_n-1 + b_n-1)
これはβa_n+b_nにも使えるから
つまり

(αa_n+b_n)=(α 0)(αa_n-1 + b_n-1)
(βa_n+b_n) (0 β)(βa_n-1 + b_n-1) ←これも上下カッコが繋がってます

対角行列のn乗と漸化式の知識を使えば

αa_n + b_n =α^n
βa_n + b_n =β^n

とできる
よってα≠ β においては
a_n,b_nについての連立一次方程式となるので
あとは解決できるでしょう
最終的な解ですが

α^n - β^n
f_n=------------ ,δ=ad-bc
α - β

とおいてやれば

A^n = f_n・A - δf_n-1・E

となります

そしてα=βの場合ですが
これって実はA自体が特殊なんですよ
適当に実例をつくればわかると思いますが
A=αEとなってるはずです
ですのでA^nは明らかに求められます

質問の意図がとりずらかったので
ずれてたらすみません

No.1 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/07/26 17:00

なんとかして、直交行列で上三角化できればいいと思うけど。

誘導問題じゃなければ、高校の範囲外かな？