整数問題についてですが、 「正の整数aに対してa²を4で割ったときの余りを求めよ」という問題で、答え

整数問題についてですが、
「正の整数aに対してa²を4で割ったときの余りを求めよ」という問題で、答えは、「aが偶数であるとき=0,
aが奇数のとき=1」となるのですが、
この求め方として、「a=1,2,3…のときa²=1,4,9…だからa²を4で割った余りはaの偶奇で決まるから…」というように、aの偶奇で考えているのですが、どのように考えればこのような発想が浮かぶのでしょうか？
また、a²=4k±1,4k+2などというように、a²から直接求めることはできるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございました。整数問題では、実験して、ある程度規則性を見いだすと簡単に解けるということがわかりました

    補足日時：2023/09/01 12:34

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/29 15:49

a=4k+r

a²=(4k+r)²=4(4k²+2kr)+r²
だから
a²を4で割った余りは,(aを4で割った余りの2乗)を4で割った余りに等しい

a=2k+r
a²=(2k+r)²=4(k²+kr)+r²
だから
a²を4で割った余りは,aを2で割った余りの2乗に等しい

No.12 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/08/30 11:06

4を法として考えれば一発です。

合同式を使う。

a≡0,1,2,3(mod4)だから両辺を2乗すると
a²≡0,1,4,9≡0,1,0,1(mod4)。

これで終わり。[上の意味は、a²を4で割ると余りが0か1]