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7^100を6で割った余りを求めよ、という問題についてです。合同式を使って解きたいのですが意味がわからないのでだれか教えてください!

A 回答 (6件)

この位で終わりにしよう。


>>1を6で割ったら永遠に4なんですけど、、、
どうして?? 少数表現なら0.1666666・・・・

余りの問題は整数の範囲で行なう。
だから「1÷6=0 余り1」商=0 余り=1 だよ。
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合同式を使って解きたいとのことですが、かなり詳しく説明してもらっているのに理解できていないようなので、応急処置として他の解法に頼るしかないと思います。


環論の学習経験も無いなら、高校数学の範囲で解いてみましょう。

7^100 = (6 + 1)^100 を二項展開すると
6^100 + 100 * 6^99 + .... + 100 * 6 + 1
となりますが、最後の 1 を除く項は、すべて 6 の倍数です。
よって, 7^100 = (6 + 1)^100 を 6 で割った余りは 1 となります。

合同式を扱っている数学書は多数ありますので、これを機会に本格的に学習することをお勧めします。
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143^100 を 7 で割った余りを求めよ、という問題を解きます。


以下の a ~ h には, 体 Z/7Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} の元のどれかが入ります。
それぞれ、どれが入るでしょうか。

143 を 7 で割ると 3 余るので, Z/7Z の元 143 は a に等しい。
a^1 = a, a^2 = b, a^3 = c, a^4 = d, a^5 = e, a^6 = f
143^100 = a^100 = a^(6 * 16 + 4) = ((a^6)^16)(a^4) = (f^16)(a^4) = gd = h
よって, 143^100 を 7 で割った余りは 4 である。

疑問があったら、遠慮なく何でも質問してください。
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>>7と1はどこが等しいのですか?


6で割った余りがどちらも同じと言う意味。
7を6で割ると余り1。1を6で割っても余り1。
これを7≡1(mod 6)と書き、7は6を法として1と合同と言う。

10を9で割ると余り1。100を9で割ると余り1。
だから10と100は9を法として合同と言い、
100≡10(mod 9)と書く。
また1を9で割っても1余るから100≡10≡1(mod 9)。

1000も1万も10万も9で割ると1余る。
だから、100000≡10000≡1000≡100≡10≡1(mod 9)。
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この回答へのお礼

1を6で割ったら永遠に4なんですけど、、、

お礼日時:2016/04/25 17:35

>>7^100を6で割った余り


7を100乗(7を100個掛け合わせる)した数を6で割ると、余りはいくつか? と言う問題。
合同記号≡はイコールと同じ様に使える(証明は略)。但し、割り算は出来ないと思ったほうが良い。
7を6で割ると1余る ⇒ 合同式では7≡1(mod 6) と書く。
普通の=と同じ様に計算できるから
7≡1(mod 6)の両辺を100乗すると
7^100≡1^100(mod 6)  1^100=1だから
7^100≡1(mod 6)

7^100を6で割った余りは1
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この回答へのお礼

7と1はどこが等しいのですか?

お礼日時:2016/04/25 14:36

あなたにとってどこが「意味がわからない」のかがわかりません.



「合同式を使って解きたい」と言っているのだから, 合同式に関する基本的な事項は理解しているのですよね? その上で, この問題のどこが「意味がわからない」のでしょうか?
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