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2個以上の同じ数字を含む4桁の正の整数は何個あるか。また、その中で一組の隣り合う2つの数字だけが同じであるものは何個あるか。
という問題なんですけど、解説よんだら、4個の数字が全て異なるのは9×9×8=4536とか載ってて訳分かんないです…
その式が分かれば9000から引けばいいんですけど、なんでその式がでてきたのかもサッパリです。
あと、「また、」から始まる問題もよく分かりません…
9×9×8という式がでて来たかとおもえば、次の式には×3が足されてて。
因みに答えは4464、1944です。
この分野ほんと苦手なので、詳しく解説して貰えると助かります。。。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
まず、次の記述は誤記ですよね。
「4個の数字が全て異なるのは9×9×8=4536」
(正)「4個の数字が全て異なるのは9×9×8×7=4536」
4個の数字が全て異なる4桁の正の整数を、記号を使って、次のように表します。
○△□×
さて、ここで、各桁が取れる数字の範囲を考えます。
△、□、×は0~9で互いに異なる数字でなければなりません。
しかし、最高桁の○は、この数が4桁になるためには、○は0ではいけませんので、1~9の△、□、×と異なる数字でなければならないことが分かります。
そこで、各記号の取り得る場合の数を上の桁から考えてみますと、次のようになります。
○: 1~9の数字 9通り
△: 0~9のうち○とは異なる数字 10-1=9 通り
□: 0~9のうち○と△とは異なる数字 10-2=8 通り
×: 0~9のうち○と△と□とは異なる数字 10-3=7 通り
従って、各桁がすべて異なる数字でできる4桁の整数は
9×9×8×7 = 4536 通り
となります。
あとは、4桁の整数は 9999-999=9000 通りありますので、これから引いて 4464 通り と求めれば良いのです。
「また」以降の問題ですが、これも記号を使って表すと、次の3つのパターンに分けることができます。
○○△□ △○○□ △□○○
このそれぞれにパターンについて、取り得る場合の数を考えてみます。
1) ○○△□の場合
○: 1~9の数字 9通り
△: 0~9のうち○とは異なる数字 10-1=9 通り
□: 0~9のうち○と△とは異なる数字 10-2=8 通り
9×9×8 通り
2) △○○□の場合
△: 1~9の数字 9通り
○: 0~9のうち△とは異なる数字 10-1=9 通り
□: 0~9のうち○と△とは異なる数字 10-2=8 通り
9×9×8 通り
3) △□○○の場合
△: 1~9の数字 9通り
□: 0~9のうち△とは異なる数字 10-1=9 通り
○: 0~9のうち□と△とは異なる数字 10-2=8 通り
9×9×8 通り
以上の3パターンについて足し合わせると、次のようになります。
9×9×8×3 = 1944 通り
なお、上記では1パターンずつばらして考えましたが、○○の部分をひとまとまりと見ることができれば、すべて数字の異なる3桁の正整数の場合の数にパターン数(3)を掛けて求めることができます。
この場合も、式は同じで、次の式で求めることになります。
9×9×8×3 = 1944 通り
No.2
- 回答日時:
2個以上の同じ数字を含む4桁の正の整数は何個あるか。
千の位に入る数は0以外の9通。
そのそれぞれについて百の位には千の位の数以外の9通り、十の位には千の位・百の位の数以外の8通り、一の位には千の位・百の位・十の位の数以外の7通り。
9×9×8×7=4464(4個の数字が全て異なる)
9000というのは4桁の正の整数全体(1000~9999)のことです。
よって(全体)-(4個の数字が全て異なる)とすれば2個以上の同じ数字を含む4桁の正の整数の個数がでてきます。
また、その中で一組の隣り合う2つの数字だけが同じであるものは何個あるか。
隣り合う2つの数字をひとつにまとめるだけです。
また隣り合う2つの数字は、千の位・百の位、百の位・十の位、十の位・一の位の3通りありますので9×9×8×3=1944となります。
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