公務員試験の過去問題です

6で割ると5余り、5で割ると4余る数のうち、2桁の自然数の個数を求めよ。という問題の答えは3なのですがなぜそうなるのかが分かりません！
詳しく回答宜しくお願いします！！

No.7 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/11/25 12:43

公務員試験でも、整数問題が流行なのか。

大学入試問題なら、基本的レベルの問題なんだが。

求める自然数をＮとし、mとnを整数とすると、Ｎ＝6m＋5＝5n＋4 とあらわせれる。
よって、6m＋1＝5n　となるが、これを満たす一つの例(＝特別解)は、(m、n)＝(4、5)だから、6*(m-4)＝5*(n-5)と変形できる。
5と6は互いに素だからkを整数として、m-4＝5k、n-5＝6k。よって、Ｎ＝6m＋5＝5n＋4＝30k＋29.
10≦Ｎ≦99だから、10≦30k＋29≦99、kは整数だからk＝0、1、2。
(1)　k＝0の時、Ｎ＝30k＋29＝29.
(2)　k＝1の時、Ｎ＝30k＋29＝59.
(3)　k＝2の時、Ｎ＝30k＋29＝89.

以上から、求める個数は　3.

No.6 回答者： Har-mo-nize 回答日時： 2011/11/24 23:34

もし問題が「6で割ると0余り、5で割ると0余る数のうち、2桁の自然数の個数を求めよ。

」でしたら簡単に分かりますよね。
6と5の最小公倍数30の倍数の個数を数えれば求められます。

この問題が「6で割ると1余り、5で割ると1余る数のうち、2桁の自然数の個数を求めよ。」になったらどうでしょうか。
これも余りの数が同じなので最小公倍数30の倍数に1加えた数の個数を数えれば求められます。

では問題が「6で割ると-1余り、5で割ると-1余る数のうち、2桁の自然数の個数を求めよ。」になったらどうでしょうかこれも余りの数が同じなので最小公倍数30の倍数から1引いた数の個数を数えれば求められますが、実はご質問の問題はこれと同じ問題なのです。
6で割ると5余る数は、商を1大きくすると余りは-1になります。同様に5で割ると4余る数は、商を1大きくすると余りは-1になります。

ご質問の問題は割る数を変えると余りが異なっているように見えますが、実はいずれの余りも割る数との差が1ですので割る数が6でも5でも同じ余り-1になっています。
このことを利用して、(6と5の最小公倍数)-1が2桁の自然数の中にある個数を勘定すればよいことが分かります。

No.5 回答者： asuncion 回答日時： 2011/11/24 23:20

6で割ると5あまる数の一般項は6m-1。

ただしm≧1。
5で割ると4あまる数の一般項は5n-1。ただしn≧1。

6で割ると5あまり、かつ、5で割ると4あまる、という条件から、
6m-1=5n-1 … (1)
∴6m=5n … (2)

6と5は互いに素（最大公約数が1）であるため、
(2)の条件を満たすのは5×6=30の倍数。
∴(1)の条件を満たすのは、(30の倍数-1)
このうち、2桁という条件を満たすのは、29、59、89の3個。

No.4 回答者： ferien 回答日時： 2011/11/24 19:52

６で割ると５余る数，５で割ると４余る数　を列挙してみると

５で割る方が、１４，１９，２４，２９，３４，３９，……と規則性があるので、
６で割る方を探します。
１１，１７，２３，２９，……というように，まず２９が見つかります。

このような感じで探すと、２９，５９，８９　の３つです。

地道な方法ですが、そんなに時間はかかりません。

No.3 回答者： wisemensay 回答日時： 2011/11/24 19:23

「6で割ると5余り」の数は、どのように表すか。

難しいことはおいて、条件に合う自然数は、29,59,89の3個


自然数　Mod(自然数、6） Mod(自然数、5）　
10 　4 　　　0
11　5　　　1
12　0　　　2
13　1　　　3
14　2　　　4
15　3　　　0
16　4　　　1
17　5　　　2
18　0　　　3
19　1　　　4
20　2　　　0
21　3　　　1
22　4　　　2
23　5　　　3
24　0　　　4
25　1　　　0
26　2　　　1
27　3　　　2
28　4　　　3
29　5　　　4
300　　　0
311　　　1
322　　　2
333 3
344 4
355 0
360 1
371 2
382 3
393 4
404 0
415 1
420 2
431 3
442 4
453 0
464 1
475 2
480 3
4914
5020
5131
5242
5353
5404
5510
5621
5732
5843
5954
6000
6111
6222
6333
6444
6550
6601
6712
6823
6934
7040
7151
7202
7313
7424
7530
7641
7752
7803
7914
8020
8131
8242
8353
8404
8510
8621
8732
8843
8954
9000
9111
9222
9333
9444
9550
9601
9712
9823
9934

No.2 回答者： FT56F001 回答日時： 2011/11/24 19:02

「6で割ると5余り、5で割ると4余る」という問題なので，30以下の自然数について書き出すのが早い。

6で割ると5余る数は，5,11,17,23,29です。このうち，5で割ると4余る数は29です。
2桁の数，すなわち10～99の間ですから，29,59,89の3つです。

No.1 回答者： bibendumbibendum 回答日時： 2011/11/24 19:02

6で割ると5余る数は６n＋５と表せる。

求めるの２桁の自然数なので
６n＋５＜100
したがってn=<15

６n＋５を５で割るのだから、少し変形する。
６n＋５
＝(5+1)n＋５
＝５n＋５＋n
＝5(n+1)＋ｎ

第１項は５で割り切れるので、第２項のnを５で割ったあまりが４になるものを選べばよい。

n=<15なので
求めるnは
４、９、１４の３個

ついでに題意を満たす２桁の自然数を計算すると
２９、５９、８９