数学A 場合の数

6枚のカード 1,2,3,4,5,6 がある。
6枚のカードを同じ大きさの3個の箱に分けるとき、カード1,2 を別の箱に入れる方法は何通りあるか。ただし、空の箱はないものとする。

という問題があります。
解説は以下の通りです。
カード1、カード2が入る箱を、それぞれA,Bとし、残りの箱をCとする。
A,B,Cの3つの箱のどれかにカード 3,4,5,6 を入れる方法は　　3^4 通り
このうち、Cには1枚も入れない方法は　2^4 通り
したがって、3^4 - 2^4 = 81 - 15 = 65 (通り)

です。
この解説の意味は分かるのですが、別のやり方だとうまくいきません。

（間違っているところを指摘してください）

私は余事象を考えました。
1,2を同じものとみて、「1,2」,3,4,5,6 を3つの箱に分ける方法は
3^5 通り
一つの箱に入る場合は3通りで、二つの箱に入る場合は45通りになりました。
3^5 - (3 + 45)=195 これは1,2が同じ箱に入る場合の数です。

全体からこの195を引くという考え方です。
全体を求めます。
1,2,3,4,5,6 を3つの箱に入れる方法は3^6 通り。
一つの箱に入る場合は3通りで、二つの箱に入る場合は31通りになりました。
よって、3^6 - (3 + 31) = 695 これが全体です。
よって、695 - 195 = 500 となってしまうのですが・・・。

おかしいところを指摘してください。
お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2011/01/30 19:18

＃１です。

正確でない回答があったので。

「1,2」,3,4,5,6 が二つの箱に入る場合の数は、
(2^5-2)×3=90通り
よって、1,2が同じ箱に入る場合の数は、
3^5-(3+90)=150通り

1,2,3,4,5,6 が二つの箱に入る場合の数は、
(2^6-2)×3=186通り
全体の数は、
3^6-(3+186)=540通り

あとは、＃２さんと同じです。

この回答へのお礼

皆様回答ありがとうございました。

お礼日時：2011/02/20 21:09

No.6 回答者： noname#137826 回答日時： 2011/01/30 20:40

#2,4です。

なるほど。#5さんの仰るとおりです。私の回答(#2,4)は間違っておりました。

No.5 回答者： nag0720 回答日時： 2011/01/30 20:13

＃３です。

2を引く意味ですが、
５つのものを２つの箱A,Bに入る場合の数2^5には、Aだけに入っている場合とBだけに入っている場合が含まれているからです。

3^5 - (3 + 3*2^5) = 144 通り
としてしまうと、１つの箱に入る場合の数を重複して引くことになります。

No.4 回答者： noname#137826 回答日時： 2011/01/30 19:40

#2です。

#3の方の答えと最終的に同じになるのは、最後の引き算で途中経過の差異がなくなってしまうことが原因です。しかし、このご質問は考え方に関するものですので、この差異は本質的に重要です。

「「1,2」,3,4,5,6 が二つの箱に入る場合の数」は、5つのものが2つの箱に入る場合の数 2^5 に、3つの箱から2つを選ぶ場合の数 3 をかけたもの、というのが私の考えです。したがって、3*2^5 = 96 通りとなります。

これが #2 の方では90通りとなっています。違いは 2^5 から 2 を引いたのちに 3 をかけているところです。2を引いているのはどういう意味でしょうか？#3の方はご説明くださいませんか？

(「1,2,3,4,5,6 が二つの箱に入る場合の数」についても同じことが行われていますが、片方の説明で他方も理解できると思います。)


このような問題では私もよく間違いを犯すので疑問ですし、#2の答えがなぜ「不正確」なのか明らかにすることは、何よりご質問者の方にとって有益だと思います。

No.2 回答者： noname#137826 回答日時： 2011/01/30 18:50

1と2が同じ箱に入る場合の数は 3^5 - (3 + 3*2^5) = 144 通りです。

(「二つの箱に入る場合」は45通りではなく、3*2^5 = 96 通りです。(*))

そして、「全体」は 3^6 - (3 + 3*2^6) = 534 通りです。
(「二つの箱に入る場合」は31通りではなく、3*2^6 = 192 通りです。(*))

引き算すると、534 - 144 = 390 通りとなります。ただし、これは3つの箱の区別がつくとして計算した数字になっています。箱の区別がつかない(同じ大きさの箱)ことを踏まえると、答えは 390 / 3! = 65 通りとなります。

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2011/01/30 18:42

「1,2」,3,4,5,6 を二つの箱に入る場合は45通り

1,2,3,4,5,6 を二つの箱に入る場合は31通り

これが間違いです。
少なくとも前者が後者より大きいはずはないですよね。

どうやってこの値を出したんでしょうか。