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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
問題の上がちょん切れていて読めないね。
質問するときにはちゃんと条件を明確に提示しよう。f'(x) の関数形が与えられていて、これが「3次関数の接線の傾き」を表すわけです。
多分問題で与えられた条件は「f(x) は常に増加」だと思うので、接線の傾きは
f'(x) ≧ 0
ここで、
f'(x) = 2ax^2 + 2(a + b)x + b + 1 ③
なので、すべての x に対して f'(x) ≧ 0 であるためには、この2次関数は「下に凸」で、頂点が x≧0 になければいけないことになる。
「上に凸」だったら、必ず f'(x) < 0 となる x が存在することになるから。
③が「下の凸」である条件が
2a > 0
です。
>あとなぜ「境界線は原点を除いて他は含む」なのですか?
判別式の条件が
(a - 1)^2 + b^2 ≦ 1
なら「円を含むその内側」だが、f(x) が3次関数なら a≠0 (上に書いてある)なので
a=0 (そのとき b=0)
は除かなければいけませんよね。
No.2
- 回答日時:
f’(x)=2ax^2+2(a+b)x+b+1
” f(x)が常に増加 ” するためには、” 2a>0 ” が、絶対の条件です。
f’(x) は、f(x)の傾きですので、これが常に増加するのは、下に凸の2次関数です。
上に凸の2次関数では、この条件を満たすことはできません。このため 2a>0
更に、常に正、x軸よりも上に無ければならない、の条件として、f’(x)の判別式 D≦0。
D=4a^2+8ab+4b^2-4・2a(b+1)
D/4=a^2+2ab+b^2-2ab-2a
=a^2-2a+b^2≦0 ← これを変形し、aとbの取れる領域を求める。
(a-1)^2+b^2≦1 ← これが写真の円の斜線部になる。
しかし、原点0、a=0、b=0 は、最初の3次関数であること∴a≠0 と a>0 の条件をaについて満たさないので除外となります。
最後の原点の部分は、最初の条件を振り返って点検する必要があり、ある意味で引っ掛けの部分ですね。
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