[x]はx以下の最大の整数を表す。 [x^2]＝2x^2＋[2x]を満たす実数xを求めよ。 教えてく

[x]はx以下の最大の整数を表す。 [x^2]＝2x^2＋[2x]を満たす実数xを求めよ。
教えてください！

No.6 回答者： さんのたけ 回答日時： 2017/09/24 00:18

わかりません‼️全く。

No.5 回答者： ji6 回答日時： 2017/09/18 21:12

すみません、表の一部が間違えていました。

No.4 回答者： ji6 回答日時： 2017/09/18 21:04

№3 です。

表がずれたので、再掲します。

No.3 回答者： ji6 回答日時： 2017/09/18 20:52

[x^2] ≦ 2x^2 より [x^2]-[2x] =2x^2…① が成り立つのは x≦0 のときである。

x≦-3 において x^2≧[x^2] , [2x]>[3x] より

[x^2]-[2x] <x^2-3x<2x^2

であるから、①の解は、-3≦x≦0 で調べればよい。

[x^2]-[2x] x^2 適するx
０ =x 0 0 0
-0.5 ≦x＜ 0 1 1/2 不適
-1 < x< -0.5 2 1 不適
-1 =x 3 3/2 不適
-√2 <x< -1 4 2 不適
-1.5 ≦x≦ -√2 5 5/2 不適
-√3 < x< -1.5 6 3 不適
-2 <x≦ -√3 7 7/2 －√(8/2)
-2 =x 8 4 －√(7/3)
-√5 <x< -2 9 9/2 －√(9/2)
-√6 <x≦ -√5 10 5 －√(11/2)
-2.5 ≦x≦ -√6 11 11/2 不適
-√7 <x≦ -√6 12 6 不適
-√8 <x≦ -√7 13 13/2 不適
-3 <x≦ -√8 14 7 不適
-3 =x 15 15/2 不適

※地道に足で調べました。

No.2 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/09/11 23:39

x=0 なら自明なので、0以外を考えていきます。

[x^2] と 2x^2 は正の数なので、[2x]は負の数
すなわち、x<0 である必要があります。
また、[x^2] と [2x] が整数なので、2x^2 は整数である必要があります。

以上の条件から、kを自然数として 2x^2 =k とおくと
x^2=k/2 より、
x=-√(k/2) と表すことができます。


x^2=k/2 なので、nを自然数として [x^2] は
kが偶数なら、k=2n と表せて
[x^2]=[k/2] =[2n/2] =[n] =n
kが奇数なら、k=2n+1 と表せて
[x^2]=[k/2] =[(2n+1)/2] =[n +1/2]=n
ということに注意します。

すなわち、kが偶数なら
x=-√(k/2) =-√(2n/2) =-√n で、
[x^2]＝2x^2＋[2x]
[(-√n)^2]＝2(-√n)^2＋[2(-√n)]
n=2n +[-2√n]
[-2√n] =-n
これを満たすnのとき、方程式が成り立つ。

kが奇数なら
x=-√(k/2) =-√((2n+1)/2) =-√(n +1/2) で、
[x^2]＝2x^2＋[2x]
[( -√(n +1/2) )^2]＝2( -√(n +1/2) )^2 ＋[2( -√(n +1/2) )]
[n +1/2] =2(n +1/2) +[-√(4n +2)]
n =2n +1 +[-√(4n +2)]
[-√(4n +2)] =-n -1
これを満たすnのとき、方程式が成り立つ。


偶数の式より、n=4で等号になることから
2つの式をn=4前後で調べてゆけばよいことがわかります。
kが偶数でn=4ならば、k=8、x^2=8/2
kが奇数でn=4ならば、k=9、x^2=9/2
つまり、k=8 前後で調べればよいわけです。

k=6 のとき
(左辺)=[x^2]=[6/2]=3
(右辺)=2x^2＋[2x]=2(6/2)+[-2√(6/2)] =6+[-√12]
3<√12<4 より、-4<[-√12]<-3 なので、[-√14]=-4
(左辺)≠(右辺)

k=7 のとき
(左辺)=[x^2]=[7/2]=3
(右辺)=2x^2＋[2x]=2(7/2)+[-2√(7/2)] =7+[-√14]
3<√14<4 より、-4<[-√14]<-3 なので、[-√14]=-4
(左辺)＝(右辺)

k=8 のとき
(左辺)=[x^2]=[8/2]=4
(右辺)=2x^2＋[2x]=2(8/2)+[-2√(8/2)] =8+[-√16]=8-4=4
(左辺)＝(右辺)

k=9 のとき
(左辺)=[x^2]=[9/2]=4
(右辺)=2x^2＋[2x]=2(9/2)+[-2√(9/2)] =9+[-√18]
4<√18<5 より、-5<[-√18]<-4 なので、[-√18]=-5
(左辺)＝(右辺)

k=10 のとき
(左辺)=[x^2]=[10/2]=5
(右辺)=2x^2＋[2x]=2(10/2)+[-2√(10/2)] =10+[-√20]
4<√20<5 より、-5<[-√20]<-4 なので、[-√20]=-5
(左辺)＝(右辺)

k=11 のとき
(左辺)=[x^2]=[11/2]=5
(右辺)=2x^2＋[2x]=2(11/2)+[-2√(11/2)] =11+[-√22]
4<√22<5 より、-5<[-√22]<-4 なので、[-√22]=-5
(左辺)≠(右辺)

ゆえに、k=7,8,9,10 で方程式が成り立つ。
すなわち、[x^2]＝2x^2＋[2x]を満たす実数xは、x=-√(k/2) より
k=7 で x=-√(7/2)
k=8 で x=-√(8/2) =-√4 =-2
k=9 で x=-√(9/2) =-√9/2 =-3√(1/2)
k=10 で x=-√(10/2) =-√5
および、
x=0
の5つの実数が解となります。



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[x^2] と 2x^2 は二次式なので、xが一定の大きさを超えると、
一次式である[2x]ではその差に追いつけなくなる。
その範囲をどうやって見つけるかが、この問題を解くカギだと思います。
もっと賢いやり方があるかもしれませんね。

No.1 回答者： Arima01 回答日時： 2017/09/11 07:02

[x²]=2x²+[2x]

[x²]、[2x]は整数なので2x²も整数。
よって次のように書き換えられる。
[x²]=[2x²]+[2x]
-[x²]=[2x]
これを解くと x=-2