数１、2の問題です。手書きの回答は間違っていて、正しい答えは4√13/3です。考え方を教えてください

数１、2の問題です。手書きの回答は間違っていて、正しい答えは4√13/3です。考え方を教えてください。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/25 00:11

まずは、△ABD は∠Bが直角の直角三角形ですから、P はAD上にあり、AD の中点です。

また、外心ですから
Q：AC, AD, DC の中点を通る垂線の交点
ということになり、「PQ の長さ」は「DC 上の長さ」であることが分かります。

そして、△PQA は∠Pが直角の直角三角形で、
　PA：△ABD の半径
　QA：△ACD の半径
であることが分かります。

ここまで分かれば、あとは各々の長さを求めればよい。

AD = √(6^2 + 4^2) = √52 = 2√13

外心ですから、正弦定理を使って、
△ABD の外心の半径を Rb とすると
　AD/sin∠B = 2Rb
ここで
　∠B = 90°
なので
　Rb = (1/2)AD = √13

△ACD の外心の半径を Rc とすると
　AD/sin∠C = 2Rc
ここで
　sin∠C = AB/AC = 3/5
なので
　Rc = (5/6)AD = (5/3)√13

△PQA は直角三角形なので、三平方の定理より
　PQ^2 = QA^2 - PA^3 = Rc^2 - Rb^2 = [(5/3)^2 - 1^2] * 13
　　　　= (16/9) * 13
よって
　PQ = (4/3)√13