循環小数を既約分数で表し 「分子(m)÷分母(n)」をした際 nによる割り算をn回行う間には、必ずn

循環小数を既約分数で表し

「分子(m)÷分母(n)」をした際

nによる割り算をn回行う間には、必ずn-1回の余りの中のいずれかのものと等しい余りが現れる

と参考書に書いてあったのですが、なぜ
「n回」「n-1回」と決まっているのですか？

例えば9÷37は循環小数になりますが

「5回目と40回目」「50回目と60回目」に初めて同じ余りが来ることはありえなえないのですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/05/25 13:06

割り算の筆算を考えれば解る。

余りが出たら、それを10倍して又割って、その余りを10倍して割って、を繰り返す。

37で割ったら余りは、1～36の36通りしか無いから、最悪余りが全部違っていても36回で一周する。
次の37回目では既に出てるどれかと同じになる。

この回答へのお礼

分かりやすいです。ありがとうございます

お礼日時：2023/05/25 16:07

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2023/05/25 12:48

合同式で考えればわかりやすいかも！？つまり

mod(1)=mod(n+1)
mod(2)=mod(n+2)
...........................
mod(n-1)=mod(2n-1)
教科書に余りと式との関係が記載なかったでしょうか？
きっと中学生なのでしょうか？
高校では循環小数は極限という単元で数列と考えて
例えば　9÷37は
=0.243+0.243/10^3+0.243/10^6+0.243/10^9
.......と考えて
初項0.243　公費10^(-3) より
初項/(1-公費)=0.243/{1-10^(-3)}=243/(10^3 -1)=243/999=(9・27)/(37・27)=9/27 となります。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/25 11:31

19÷37の場合あまりは0から37-1＝36までの37個に限られるから

37回の割り算の間に同じ余りが必ず出てくるから
そこから循環するわけ。