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数学の質問です。
3の1017乗を14で割った余りを求めよ。

わかる方がいたら、教えて欲しいです。
お願いします。

A 回答 (5件)

3^1017=(3^3)^339=27^339と変形した上で


14≡0=27+1(mod14)を使って
27≡-1(mod14)
27^339≡(-1)^339(mod14)なので
 3^1017=27^339≡(-1)^339(mod14)≡13(mod14)
でどうでしょう。
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3^1=1


3÷14=0 余り3

3^2=9
9÷14=0 余り9

3^3=27
27÷14=1 余り13
より、14×1 +13=27

3^4=3^3 ×3=27×3=(14×1 +13)×3=14×3 +13=14×3 +39
39÷14=2 余り11
より、14×2 +11=39

3^5=3^4 ×3=(14×3 +39)×3=14×9 +39×3
=14×9 +(14×2 +11)×3 =14×9 +14×6 +11×3=14×15 +11×3 =14×15 +33
33÷14=2 余り5
より、14×2 +5=33

3^6=3^5 ×3=(14×15 +33)×3=14×15 +33×3
=14×15 +(14×2 +5)×3=14×15 +14×6 +5×3=14×21 +5×3=14×21 +15
15÷14=1 余り1
より、14×1 +1=15

3^7=3^6 ×3=(14×21 +15)×3=14×63 +15×3
=14×63 +(14×1 +1)×3=14×63 +14×3 +3=14×66 +3
3÷14=0 余り3
より、14×0 +3=3

余りが3になったので、これ以降は循環していくことがわかります。
ゆえに、nを整数として3^xの余りは
x=6n+1 のとき、余り3
x=6n+2 のとき、余り9
x=6n+3 のとき、余り13
x=6n+4 のとき、余り11
x=6n+5 のとき、余り5
x=6n のとき、余り1
で表せることがわかります。

求めたいものは、3^1017を14で割った余りなので、
x=1017=6×169 +3
から、余りは13になることがわかります。


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14で割ったときの商の部分は3倍しても14の倍数として分けられるので、
余りの部分に注目して、それを3倍して14で割ったときの余りを確認します。
やっていることが理解できていれば、
余りの部分だけ計算することで次の項の余りがわかるでしょうね。
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すみません!


もう一度考え直して見ますーね!
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3^1=3


3^2=9 …(1)
3^3=27
3^4=81

3^5=243
…………
よって
3^1017=3^5・243+2 より1の桁は、9である。

14=2・7だから
9=2・4+1
9=7・1+2
故に
3^1017=2・Q1+1
=7・Q2+2
=7・(2・Q1+1)+2
=14・Q3+ 9
最初の(1)とも一致!
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3の1乗/14のあまりは3


3の2乗/14のあまりは9
3の3乗/14=27/14=(14+13)/14 = 1あまり13
3の4乗/14のあまりは 13x3/14=39/14 のあまりと一緒だから11
3の5乗の場合は同じく 11x3/14 =33/14 のあまりだから、5
3の6乗 15/14 で 1
3の7乗 3/14で 3 ここで1乗と同じ結果になるから、あとは1017/14のあまりとかで算出できるんじゃないかな。
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