ロジスティックモデルの方程式を積分したらどうなりますか？ dn/dt=rn(1-n/k) nt=？？

ロジスティックモデルの方程式を積分したらどうなりますか？
dn/dt=rn(1-n/k)
nt=？？？/1-e？？？
？？？のところ埋めてください
よろしくお願いします

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/24 20:05

dn/dt = rn(1-n/k) を t で積分したら

n = r∫n(1-n/k)dt になりますけど、
さすがにこれはやっても意味ないかと。

微分方程式 dn/dt = rn(1-n/k) を解け...ってことなら、
変数分離型ですから、普通に
dn/{ n(1-n/k) }= r dt と変形してから積分すれば
∫r dt = ∫dn/{ n(1-n/k) }
　　　= ∫{ 1/n + (1/k)/(1-n/k) }dn
　　　= log n + (1/k)・(-k)log(1-n/k) + C.　　(C は定数)
よって、
rt = log{ n/(1-n/k) } + C,
e^(rt-C) = n/(1-n/k),
n = { e^(rt-C) }/{ (1/k)e^(rt-C) + 1 }
　= 1/{ 1/k + e^(C-rt) }
　= k/{ 1 - Ae^-rt }.　　(A は定数. A = -k e^C)

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/04/24 18:08

∫1/rn(1-n/k)dn

=(k/r)∫1/n(k-n)dn *
=(1/r)∫{(1/n)+1/(k-n)}dn

*
1/n(k-n)=a/n+b/(k-n)
⇒a(k-n)+bn=1
⇒a=b
⇒ak=1
a=1/k

みたいなことか？
後はできるでしょ。