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連立方程式の解が交点の座標と一致する理由は?

学校で
連立方程式の解(x,y)=(a,b)はグラフの交点の座標と一致しますが、
どうして一致するのか説明せよと問題を出されてしまいました

しかし教科書にも載ってないし、調べてもわかりませんでした。
どなたかできればわかりやすく教えてください

gooドクター

A 回答 (5件)

方程式のグラフとは何かを考えてみましょう。



グラフの勉強をしたところで説明があるはずなのですが、
「方程式のグラフ」とは、方程式を満たすx,yを座標に持つ
点(x,y)の集合のことです。


ですから、2つのグラフが交わる点では、その座標は、2つ
の方程式を同時に満たしています。つまり連立方程式の解が
その座標となっています。

>しかし教科書にも載ってないし、調べてもわかりませんでした。
教科書の、「関数のグラフ」「方程式の表すグラフ」などが
書かれているところをもう一度調べてみて下さい.
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中学生レベルを念頭においてごく簡単に述べます。



解と座標の関係を考えてみましょう。それぞれの方程式の解はいくらでもありますね。つまり、その部分(座標)をそれぞれの直線が通っています。

そして、いくらでもある解のうちの特定の解は両方の方程式に共通しますね。その解がどちらの方程式にも当てはまるということは、その部分(座標)をどちらの直線も通っているということになります。
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 各方程式がグラフ上の線で表されることが条件になります。


 それぞれの方程式がその線で表されるということは、線上の任意の点は方程式を満たしているということになります。

 つまり、方程式をy = f(x), その表すグラフの線を lf とすると、lf上の任意の点p(x,y)のx,yは必ず y = f(x)の関係を満たします。

 連立方程式の場合は2つ以上の方程式があって、その解が共通するといういうことです。
 もう一つの方程式をy = g(x), その表すグラフの線を lg とすると、lg上の任意の点q(x,y)のx,yは同様に必ず y = g(x)の関係を満たします。

 連立方程式の解(x,y)=(a,b)なら、このa,bは2つの方程式の解でもあるので、点(a,b)は線lf, lgの両方の上にある点ということになります。すなわち、両方の線の上にある点=グラフの交点ということです。

 ただし、グラフが直線でかつ平行でなく、x,yの範囲が無限の場合は方程式の解はグラフの交点になりますが、そうじゃない場合は方程式の解は交点じゃなくて接点だとか、交点は存在しない(解が無い)とかいうこともあり得ます。
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なんか ナンセンスな問題と思います。


だって、グラフの交点のことを連立方程式の解というのですから・・・。

今ax+by=c---(1) dx+ey=f---(2) なる連立方程式があったとしましょう。

(1)(2)ともX-Y座標上の直線を表しますが、(1)(2)の解とは、どちらの関係も満足する点、すなわち交点のことなのです。

どうして一致するのか?という問題は変ですね。
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2直線が交じ合うのは1点しかありえません。


2直線の交点は2つの一次方程式を同時に満たす場合のみです。
とくらいしか説明できません(笑
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