「2直線の交点は連立方程式の解」となることの説明

はじめまして、現在中学2年生の数学教師をしている者です。
先日、「2直線の方程式が与えられていてその交点を求めさせる」という問題を教えていたのですが、
生徒の中に「2直線の交点は連立方程式の解」となることが理解できない者が数名おりました。
そこで、下記の方法で理解してもらおうとしました。
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(1)まず、座標上で任意の点(例えば(1,2))を選択しそれを点Aとします。
(2)この点Aを通る直線の方程式(1)(2)を何でも良いので2つ作り、座標上に書いてもらいます。
ここまでで、(1)(2)の交点が間違いなく点Aであることを理解してもらいます。
(3)次に、機械的に方程式(1)(2)の連立方程式の解を求めてもらいます。
(4)(3)の連立方程式の解が自分の作成した座標における直線(1)(2)の交点Aであることを確認してもらいます。
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上記の説明の結果、交点の座標と連立方程式の解が一致することは一応解ったようでした。
しかし、それが何故一致するのかが理解できないようで、消化不良といった風でした。

問題集や参考書を見ても「交点は連立方程式の解であり」と当然の様に書いていますが、
それを更に突き詰めるような方法は記載されていませんでした。

私自身は一次方程式の連立方程式の解は2つの一次方程式の唯一「一致するx,yの組み合わせ」だということをグラフで視覚化すると交点という表現になる。
という理解ですが、
おそらく感覚的な理解が必要な部分なのではないかと思っています。

どなたかこの部分を理解させる良い方法をご存知の方がいらっしゃったら教えて頂きたいと思います。
指導方法に関するアドバイス何卒宜しくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： funoe 回答日時： 2011/11/09 17:28

・平面上の直線ってのは、「点」が沢山集まっているものであることを理解してもらいましょう。

　たとえば、y=2x+1　なら、
　点(0,1)とか点（-1、-1)とか、点(-10、-19）とか、点(0.5、2)とかが一杯集まっているんです。
　　　→ここのところ、十分に時間を掛けて、具体例を沢山だして理解してもらいましょう。

・逆に、その直線上の点は、その点のx座標とy座標に関係があって、　y=2x+1　となっているんです。
・さらについでにいうと、y=2x+1　という関係にないｘとｙの値、例えば（1,5)とか（0、-1)とかはその直線上にはないんです。


ここまでをよーーく理解してもらったら、

直線Ａの上の点は、沢山あること
沢山あるけど、関係（例えばY=2X+1）は満たしていること。

もう一本の直線Ｂがあったとき、直線Ｂの上にも点が沢山あること。
沢山あるけど、関係（例えばY=-X+2)を満たしていること。



さて、ここまでくれば、交点という特別な点は、直線Ａの関係（例えばY=2X+1）と直線Ｂの関係（例えばY=-X+2)
の両方を満たしている特別な「点」であることがわかるでしょう。



その値を「計算で求めたい」なら連立方程式を解く。
その値を「視覚的に発見したい」なら、丁寧にグラフを書いて交点を探す。


というのでいかがでしょうか？
お役に立てば幸いです。

この回答へのお礼

ご回答有難うございます。
素晴らしい方法だと思います。

ユークリッド幾何学原論の
「直線とは、その上にある点について、一様に横たわる線である。」
という定義を体験的に理解させる訳ですね。
私は昔この一説を読んで数学とは決して無味乾燥なものではないんだ。
と思い感動したことを覚えています。

実はその方法は試みてはみたのですが、残念ながらイマイチ理解できなかったようです。
けれど自分の説明の仕方が悪かったのかもしれません。
もう一度説明してみたいと思います。

おそらく生徒が理解できない箇所は
>その値を「計算で求めたい」なら連立方程式を解く。
のところで、
「連立方程式の解」と「交点」が感覚的に結びつかないのだと思います。
数学の理解に関する経緯は人によって異なっていて、
歩いていて腑に落ちることもあれば、
ご飯を食べていて突然腑に落ちることもあって、
ひらめきを必要とするものだと思っています。

それを授業中に求めることは難しいとも思っていますが少しでもそのキッカケが作れればと思います。

自分の教師としての能力不足は自覚しているつもりなので、
出来る限り努力したいと思います。
有難うございました。

お礼日時：2011/11/09 19:07

No.6 回答者： Ishiwara 回答日時： 2011/11/10 13:14

式とグラフの関係を体で学ぶといいのではないでしょうか。

(1) Ａ店では、ケーキ１個100円で、箱代は取らない。
(2) Ｂ点では、ケーキ１個50円だが、個数に関係なく箱代150円を取る。
(3) ２つのグラフを別々に書いて、（式との関係も含めて）完全に理解する。
(4) さて、何個買う場合、ＡＢの金額が同じになるか。
(5) そこで「連立」の意味を考える。

No.5 回答者： nasumiso2022 回答日時： 2011/11/10 03:41

流して聞いてください

かけっこで例えます
まずxを走り始めてからの時間(t)とおき,yをスタート地点からの距離(d)とします

A君とB君は速度に絶望的差があるのでハンデとしてA君はゴールの手前からスタートしてもらいます
お分かりでしょうがこれは

1.y=a(A君の速度)t-c(ハンデなので-)
2.y=bt
の連立方程式と一致します

そしてかけっこ、-ちなみにこのかけっこは永遠に続く長距離走ですが-、ハンデがあってもA君はコンスタントに早いのであるときB君に追いつきます まさに追いついた時 ”その時間”t(x) と ”スタート地点からの二人の距離d(y)"が一致します これはあきらかです。時間tの時にB君の距離２つになったりはしません 一度追いぬかれてしまえばB君は永遠にA君に追いつくことはありません。

そもそものこの１次方程式を理解してもらうために、まずこのかけっこは”終わりもないし始まりもない”ということをわかって貰う必要がある気がします、実はA君B君は幾星霜も昔からずっと走り続けていて、それがいつ始まったかも分からない、ただ我々がゴール(原点)と決めた場所からのほんの一部分がグラフ上に見えているに過ぎなくて、本当は無限大のグラフ用紙が必要なわけで。

さて、ここではるか上空から二人のかけっこの様子を見てみましょう
そして1秒ごとに写真をとります
そしてその沢山の写真をコースが垂直になるようにして少しずつずらして横に並べるとどうでしょう
二人の人形が点となってまるでに直線がかかれたグラフのようではありませんか！そして二人が横並びになった時を撮れるチャンスは一度だけです

”先生なんで動画にしないの”と聞かれたら”動画を一枚の図にまとめるにはある時間ごとに区切ったその都度の状況を書き表すのに、距離を縦軸、時間を横軸(逆でもいい)という形にするのが最も”合理的"”とでもいっておきましょう

そもそもこのかけっこの問題を彼らに出して、この問題をとくために彼ら自身にグラフの”概念”というかグラフが必要となった過程を理解してもらうのがいいんじゃないでしょうか、”たしかにグラフなんか使わなくても解けるけど、グラフ見ると動画見てるみたいにパッと状況が分かるもんな”と感じてもらえればしめたものです

駄文失礼しました

No.4 回答者： misawajp 回答日時： 2011/11/09 20:18

２直線の交点とは、２直線が同じ値を持つことです

x平面とｙ平面ならばそれぞれの直線を表す方程式が、交点では　ｘ、ｙとも同じ値を持つとの意味です

見方を変えれば、その二つの方程式を連立方程式としたしたときの解です

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/11/09 15:54

＞問題集や参考書を見ても「交点は連立方程式の解であり」と当然の様に書いていますが、それを更に突き詰めるような方法は記載されていませんでした。

2直線が平行なら不能、2直線が一致すると不定、2直線が交点を持つとそれが連立の解。
そんな事は、書いてなくても君が理解していなければならない。
書いてないと教えられないのか、君は教師なんだろう。
教える君が、そんな事に気がつかないで(＝知らないで)　教えられる生徒が分かる分けない。。。馬鹿げてる。

この回答への補足

非常にナンセンスな回答だと思います。
>書いてないと教えられないのか、君は教師なんだろう。
>教える君が、そんな事に気がつかないで(＝知らないで)　
>教えられる生徒が分かる分けない。。。馬鹿げてる。

回答者殿の言葉をそのままお返しします。
回答者殿は数学というのは知識ではなく、
突き詰めれば感覚的な理解を要するものである事をご存知ないか。
書いてあることをそのままにしか伝えられていないのは貴殿の方です。

>2直線が平行なら不能、2直線が一致すると不定、2直線が交点を持つとそれが連立の解。
>そんな事は、書いてなくても君が理解していなければならない。
残念ながら全くピントがズレた回答です。
それはただの性質であり、
2直線の交点と連立方程式の解が一致することをどう説明すればよいか。
という質問の意図とはズレています。

私は知識を問うているのではない。
生徒が数学を感覚の段階まで落とし込んで理解する為の方法を問うています。
そして私なりの方法も記載しています。

回答者殿はご自分なりの教え方すら掲載せず、
>「2直線が交点を持つとそれが連立の解。」
という一言で済ますおつもりか。
回答者殿が教育者でないことを願うばかりです。

また、余りに生産性のない回答故通報させて頂きました。
悪しからず。

補足日時：2011/11/09 19:31

No.1 回答者： FEX2053 回答日時： 2011/11/09 15:49

平面上の直線というのは、XとYの何らかの関係式。

関係式は、直線上の任意の位置で特定の値を取る。

２つの直線の交点は、双方の直線で同じ値を取る。

一方、一次方程式はXとYとの直線的な関係式なので、
平面上の直線として必ず表すことがことが出来る。
（式変形してy=f(x)とするとか）

連立方程式の解＝２つの式に同じ値が入るということ
なので、これは直線同士の交点と同値。

私はこう理解してるんですけどね。だめかしら・・・。

この回答へのお礼

ご回答有難うございます。
直交座標上の直線においては、あるXに対してYが一意に定まるということを理解したうえで、２つの直線の交点を連立方程式の解と認識させる訳ですね。

連立方程式の解＝２つの式に同じ値が入るということ
なので、これは直線同士の交点と同意。

という点をどうにか理解してもらいたいところです。

様々な表現を伝えてみようと思います。
数学の本質的な理解は時間を要するものでもあると思うので、
反復練習も試みてみたいと思います。

貴重な意見、大変有難うございました。

お礼日時：2011/11/09 19:47