サイクロイド運動について質問です。 極板の間隔をd、長さをl、極板Aの電位を０、極板Bの電位をV1と

サイクロイド運動について質問です。
極板の間隔をd、長さをl、極板Aの電位を０、極板Bの電位をV1として、磁界Bをかけている長さをl′ = lとした時、電子は電磁界中(x=0、y=0)を初速度0で出発する。電界はE=(0、−V1/d、0)、磁界はB=(0、0、-B)となる時、
運動方程式が
d^2x/dt^2=eBvy/m
d^2y/dt^2=e(E-Bvx)/mで与えられる。
ここでの、E=V1/dであるとき、それぞれを2回積分したらどうなるかという問題なのですが、
答えから
x=E(ωt-sinωt)/ωB
y=E(1-cosωt)/ωB
となりました。計算過程教えて欲しいです。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/10/10 04:01

vx'=(eB/m)vy・・・・・①

　vy'=(eE/m)-(eB/m)vx・・・・②
だから
　vx''=(eB/m)vy'=(eB/m){(eE/m)-(eB/m)vx}
　　=-(eB/m)²(vx-E/B)
→
　(vx-E/B)''=-(eB/m)²(vx-E/B)
なので、この解はよく知られたように
　vx-E/B=A₁coswt+A₂sinwt , w=eB/m

となり。初期条件の速度0から
　vx=0=E/B+A₁+0 → A₁=-E/B
→ vx=E/B-(E/B)coswt+A₂sinwt・・・・・③

同様にして
　vy''=0-(eB/m)vx'=-(eB/m)²vy
この解も
　vy＝A₃coswt+A₄sinwt
となり、初期条件から
　vy=0=A₃+0 → A₃=0
→ vy=A₄sinwt・・・・・④

③④を①に入れると
　(E/B)wsinwt+wA₂coswt=wA₄sinwt (w=eB/m を使った)
sin/cosは一次独立なので、この式を満たすには
　(E/B)w=wA₄, A₂=0 → A₄=E/B
となる。

まとめると
　vx=E/B-(E/B)coswt・・・・・⑤
　vy=(E/B)sinwt・・・・・・・⑥


⑤を積分して(定数記号は決定したので再利用)
　x=(E/B)t-(E/wB)sinwt+A₁
　y=-(E/wB)coswt+A₂

初期条件、t=0,x=y=0から
　x=0=0+0+A₁、y=-(E/wB)+A₂ → A₁=0, A₂=E/wB
書き直すと
　x=(E/B)(t-(1/w)sinwt}=(E/wB)(wt-sinwt)
　y=(E/wB)(1-coswt)