親子におすすめの新型プラネタリウムとは?

ハイパスフィルタ(CR直列回路)にVsinωtの交流電圧が加わっているとき,抵抗Rの両端の電圧は

( V/√(1+(1/RCω)^2) ) × sin(ωt+φ)

となるそうなのですが,この導出過程がどうしてもわかりません.
どなたか導出過程を教えていただけないでしょうか.

A 回答 (3件)

電気屋さんはANo.2の計算法を使いますが、まともに計算するのならANo.1さんの方法です。

ANo.1さんの微分方程式を使った解法を添付します(添付図の式(3)の下の微分方程式を解くところは省略しました)。添付図の続きは以下の通りです。

ここで
   ω*C*R*sin( ω*t ) + cos( ω*t ) = A*sin( ω*t + Φ ) ただし -π≦Φ≦π --- (5)
とおくと、三角関数の和の公式から
   A*sin( ω*t + Φ ) = A*sin( ω*t )*cos(Φ) + A*cos( ω*t )*sin(Φ) --- (6)
なので、(5), (6) から
   { ω*C*R - A*cos(Φ) }*sin( ω*t ) + { 1 - A*sin(Φ) }*cos(Φ) = 0
これが 任意の t について成り立つためには
   ω*C*R = A*cos(Φ) --- (7)
    1 = A*sin(Φ) --- (8)
が同時に成立たなければならない。

式(7)の両辺の2乗と式(8)の両辺の2乗を足し合わせても等号が成り立つので
   ( ω*C*R )^2 + 1 = A^2*{ cos(Φ)^2 + sin(Φ)^2 } = A^2
   → A = ±√{ ( ω*C*R )^2 + 1 }
式(7)で Φ = 0 のとき cos(Φ) = 1 なので、A = ω*C*R ≧ 0 となるから、A は正の値となる。したがって
   A = √{ ( ω*C*R )^2 + 1 } --- (9)

一方、式(8)/式(7) も等号が成り立つので
   1/( ω*C*R ) = tan(Φ)
   → Φ = arctan{ 1/( ω*C*R ) } --- arctan は tan の逆関数 --- (10)

式(5), (9), (10) から
   ω*C*R*sin( ω*t ) + cos( ω*t ) = √{ ( ω*C*R )^2 + 1 }*sin( ω*t + Φ ) --- (11)
   ただし Φ = arctan{ 1/( ω*C*R ) }
したがって、式(4), (11) から
   Vout = V0*ω*C*R*√{ ( ω*C*R )^2 + 1 }*sin( ω*t + Φ ) /{ 1 + ( ω*C*R )^2 }
      = V0*ω*C*R*sin( ω*t + Φ ) /√{ 1 + ( ω*C*R )^2 }
      = V0*sin( ω*t + Φ ) /√{ 1 + 1/( ω*C*R )^2 }
       ただし Φ = arctan{ 1/( ω*C*R ) }
「ハイパスフィルタの出力電圧の導出」の回答画像3
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>( V/√(1+(1/RCω)^2) ) × sin(ωt+φ)



定常状態解ですね。
振幅が V/√(1+(1/RCω)^2) 、位相ずれがφ。

インピーダンスでの分圧を勘定するのがふつう。
まず、CR 直列回路を流れる電流 = I = V/{R + 1/(jωC)} なので、
抵抗 R の両端電圧の振幅 = R*I
  = V*R/{R + 1/(jωC)} = V/{1 + 1/(jωCR)}   …(1)

あとは、振幅・位相の勘定。
(1) の絶対値 = V/√{1 + (1/ωCR)^2}
(1) の移相 = -arctan[-(1/ωCR)] = arctan(1/ωCR)
…かな?
   
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CR 直列だから電流が等しいとして微分方程式を解けばいいだけでは?

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Qハイパスフイルタが微分回路になるのはなぜ?

機械工学科出身のものです。電子回路について一冊本を
読んで基礎を勉強したのですが、いまいちピンときません。

電気回路に詳しくような人間でも理解できる説明が
あったらお願いできませんか?もう何冊か電子回路の本を
勉強するつもりですが・・・

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

回路の意味の考え方
機械系と電気系の相対性があります。電気回路の現象は2次の微分方程式で記述できますが、この微分方程式の係数になる抵抗、キャパシタンス(コンデンサ)、インダクタンス(コイル)を機械系の微分方程式に置き換えて考察するものです。

ローパスフィルタは機械であれば配管内の圧力の変動周期の短期変動成分検出して除去させる機能です。除去する部分はハイパスフィルターになっていて、本管に生じた圧力変動を検出してダンパー回路に導いて減衰させています。フィルタの特性は配管径(圧損)とサージサプレッサ(サージタンクやダンパー)の容量で決まることになります。

電気回路は並列回路の場合は電圧方程式で考え、直列回路の場合は電流方程式で考えるため、LとCの意味が変わります。

電圧方程式の場合、
Ri+L di/dt+ 1/Cx(iの時間積分)=0
電流方程式の場合
e/R + C de/dt + 1/L x(eの時間積分)=0
で表現されます。

微分回路は回路に直列のコンデンサか回路と並列に入れたコイルになります。
または回路に直列のコイルか、回路に並列のコンデンサになります。
微分回路=変化を検出する回路です。上記のL di/dtまたはC de/dt の部分がこれにあたります。微分回路に信号(電流または電圧)を減衰させるRを加えるとフィルタになります

変化を検出して変化した信号成分は抵抗で減衰させてしまうというのがローパスフィルタ(高周波領域阻止)の基本的な発想です。
変化を検出した信号以外を減衰させるとハイパスフィルタ(低域減衰)となります。

勉強の仕方
フィルタは奥が深く、電気系でも回路の定数をすぐに思い浮かべることができる人は少ないと思います。これは車のサスペンションの最適設計と同レベルです。
サスペンションにはダンパー、コイル、ばね下重量のつなぎ方といった定石があるのと同じく、フィルターにもチェビシェフとか基本回路が存在します。
また電子回路シミュレータにはこれらの回路の特性を模擬実験させる機能がありますので理解に役立ちます(フリーソフトもあります)
実務で行う場合、基本回路の知識を増やし、フィルタに要求される仕様をはっきりとさせ、シミュレータで当たりをつけ、実際の部品で実験してオシロやFFTアナライザで観測して実際と理論の違いを確かめるといった手順になります。

最近ではFFTのように演算によってフィルタを実現することで回路を使わないことも流行しています。(ワンチップICで実現しているものもある)でも意図しないノイズや回り込みの除去には外部フィルタは有効であり続けるので回路方程式からのアプローチは今後もなくならないと思います

回路の意味の考え方
機械系と電気系の相対性があります。電気回路の現象は2次の微分方程式で記述できますが、この微分方程式の係数になる抵抗、キャパシタンス(コンデンサ)、インダクタンス(コイル)を機械系の微分方程式に置き換えて考察するものです。

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Q1次のLPFの出力電圧を出すにはVin/√(1+(ωCR)^2)でいい

1次のLPFの出力電圧を出すにはVin/√(1+(ωCR)^2)でいいのでしょうか?

Aベストアンサー

|Vout| = |Vin|/√{1+(ωCR)^2} の出力電圧を出す回路例。

 Vin     Vout
 ---- R ----
      |
      C
      |
      ▽

 Vout = Vin/(1+jωCR)
  

Q計算値と理論値の誤差について

交流回路の実験をする前に、ある回路のインピーダンスZ(理論値)を計算で求めたあと、実験をしたあとの測定値を利用して、同じ所のインピーダンスZ(計算値)を求めると理論値と計算値の間で誤差が生じました。
そこでふと思ったのですが、なぜ理論値と計算値の間で誤差が生じるのでしょうか?また、その誤差を無くすことはできるのでしょうか? できるのなら、その方法を教えてください。
あと、その誤差が原因で何か困る事はあるのでしょうか?
教えてください。

Aベストアンサー

LCRのカタログ値に内部損失や許容誤差がありますが、この誤差は
1.Rの抵抗値は±5%、±10%、±20% があり、高精度は±1%、±2%もあります。
2.Cの容量誤差は±20% 、+50%・ー20% などがあり
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Qカットオフ周波数とは何ですか?

ウィキペディアに以下のように書いてました。

遮断周波数(しゃだんしゅうはすう)またはカットオフ周波数(英: Cutoff frequency)とは、物理学や電気工学におけるシステム応答の限界であり、それを超えると入力されたエネルギーは減衰したり反射したりする。典型例として次のような定義がある。
電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。


ですがよくわかりません。
わかりやすく言うとどういったことなのですか?

Aベストアンサー

>電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
>導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
>遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。

簡単にいうと、一口に「カットオフ周波数」と言っても分野によって意味が違う。
電子回路屋が「カットオフ周波数」と言うときと、導波管の設計屋さんが「カットオフ周波数」と言うとき
言葉こそ同じ「カットオフ周波数」でも、意味は違うって事です。



電子回路の遮断周波数の場合
-3dB はエネルギー量にして1/2である事を意味します。
つまり、-3dBなるカットオフ周波数とは

「エネルギーの半分以上が通過するといえる」

「エネルギーの半分以上が遮断されるといえる」
の境目です。

>カットオフ周波数は影響がないと考える周波数のことでよろしいでしょうか?
いいえ
例えば高い周波数を通すフィルタがあるとして、カットオフ周波数が1000Hzの場合
1010Hzだと51%通過
1000Hzだと50%通過
990Hzだと49%通過
というようなものをイメージすると解り易いかも。

>電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
>導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
>遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。

簡単にいうと、一口に「カットオフ周波数」と言っても分野によって意味が違う。
電子回路屋が「カットオフ周波数」と言うときと、導波管の設計屋さんが「カットオフ周波数」と言うとき
言葉こそ同じ「カットオフ周波数」でも、意味は違うって事です...続きを読む

QLPF・HPFの特性曲線の求め方

LPF・HPFを勉強し始めたのですが、特性曲線の求め方の計算の仕方が分かりません。
LPF・HPF回路は抵抗とコンデンサのみで構成するタイプのものです。
HPFでは特性曲線の関数が ωCR/√1+ω^2・C^2・R^2
LPFでは1/√1+ω^2・C^2・R^2
となるようですがその計算過程が分かりません。
ネットで調べたのですが、複素表示で解説しているものしか見つけられず分かりませんでした。
複素表示を使わない方法で教えていただけないでしょうか。お願いします。

Aベストアンサー

このような回路の解析には、フーリエ変換に基づく複素表示が
便利です。電気回路の交流理論はこの立場です。これを使わないとなる
と、直接微分方程式または積分方程式を解かなければなりません。
長くなりますが、HPFを例に考えましょう。
まず、キャパシタの静電容量をC、電荷をQ、電圧をVとしますと、
Q=CVがなりたちますね。
キャパシタに電流iが流れ込むと、電荷が増えます。
i=dQ/dt
が成り立ちます。ここまでは、復習です。
フィルタの入力電圧をVin,出力電圧をVoとしますと、
Vo=RdQ/dt = RCd(Vin - Vo)/dt
が成り立ちます。この微分方程式を解きます。または、
これの両辺を積分して、整理して、
Vo + (1/RC)∫Vo dt = Vin
周波数特性を求めるときには、Vinに正弦波を仮定して、
出力Voを求め、Voの振幅/Vinの振幅を各周波数ごとに
求めるわけです。
ここでは、回路の線形性を認めて、入力に正弦波を入れると
出力にも正弦波が出るということを使いましょう。
すると、先に出力Voを与えて、逆にVinを求めましょう。
Vo=sin(ωt)と置きます。Voの積分をして、
sin(ωt)-(1/(ωRC))cos(ωt)=Vin
左辺のsin,cosの係数部を整理すると、
A=√(1+(1/(ωRC)^2)) とおいて、
A・{1/A・sin(ωt)-(1/(ωRC)^2)/A・cos(ωt)}
= A{cosφsin(ωt)-sinφcos(ωt)}
= A sin(ωt - φ)=Vin
Voの振幅は1。 Vinの振幅はAとなるので、
振幅特性 |H(ω)|=1/A
これを整理すれば、質問者の書いた式になります。

初めからフーリエ変換(ラプラス変換Iを利用すれば、もっと簡単に求
められるわけです。複素数表示が便利なわけです。ぜひこれを
勉強してください。

このような回路の解析には、フーリエ変換に基づく複素表示が
便利です。電気回路の交流理論はこの立場です。これを使わないとなる
と、直接微分方程式または積分方程式を解かなければなりません。
長くなりますが、HPFを例に考えましょう。
まず、キャパシタの静電容量をC、電荷をQ、電圧をVとしますと、
Q=CVがなりたちますね。
キャパシタに電流iが流れ込むと、電荷が増えます。
i=dQ/dt
が成り立ちます。ここまでは、復習です。
フィルタの入力電圧をVin,出力電圧をVoとしますと、...続きを読む

Q理想的なフィルタの位相特性

ローパスフィルタ、ハイパスフィルタ、バンドパスフィルタを実験で実際にくみ、利得や位相特性を実際に読み取りグラフなどにしました。
~位相特性についてて~
入力と出力で位相差が生じて、通過域においては位相差は小さく
阻止域においては位相差は大きくなっていました。

僕の考察では、理想的なフィルタの
通過域において位相差は0[deg]
阻止域において位相差は180[deg]
と考察したんですが間違っているでしょうか。

しかし、直感的に答えただけで根拠がありません。
位相差が生じると出力が弱まる性質があるのでしょうか

どなたかヒントだけでもいいんで教えてください><

Aベストアンサー

>理想的なフィルタの位相特性

(1) 理想的なフィルタの位相特性 = 望ましい「フィルタの位相特性」という意味なら、「フィルタで付加される
位相量(移相)」は少ないに越したことはありません。しかし、フィルタの減衰量を大きくしていくと、移相は増大
するのを避けられません。

(2) 理想的なフィルタの位相特性 = 「理想フィルタの位相特性」という意味なら、遮断帯域に近くにつれて移相
の傾斜が急峻になります。

たとえば、下記ページ参照。
 http://www.national.com/JPN/an/AN/AN-779.pdf

QRCフィルタ回路のR,Cの求め方

カットオフ周波数が既に算出されている回路において、RとCの求め方が分かりません。
カットオフ周波数を求めるには、「f=1/(2πRC)」という公式だと思います。
仮にカットオフ周波数が200kHz、回路に入力される周波数が100Hzだとすると、
200kHz=1/(2πRC)
RC=(1/(2π))×200kHz
とまでは分解したのですが、ここから煮詰まっています。

どなたかわかりましたら宜しくお願いします。

Aベストアンサー

単なるRとCからなる回路でしょうか。
これをフィルタとしてのカットオフ周波数とは、R=1/(2πfC)が成り立つfの値を示します。
これは、ご提示の下記に該当します。
 200kHz=1/(2πRC)
 RC=(1/(2π))×200kHz
このことから言えば、RとCの一方を任意に決めれば他方も決まります。
(以下、ローパスフィルタの例)
Rの決め方は以下が考えられます。
・電源側の抵抗分がゼロオームの場合…電源側から流しうる電流値を超えない値、最適な電流値を得る値
・電源側の抵抗分がゼロオームでない場合…「電源側から流しうる電流値を超えない値、最適な電流値を得る値」から「電源側の抵抗分」を減じた値
Cの値は先の計算式で求められますが、理想特性を得たければ、さらに負荷を追加する場合は、Rより充分に(概ね20倍以上)大きくする必要があります。

実際の周波数応答(周波数に対する出力電圧や電流)は、「電源」と「電源側の抵抗分」にRC回路と「負荷」を加えた回路図で、オームの法則による計算をすれば求められます…手計算で充分…excelを使うと楽。

なお、一般的に、RC直列回路のRおよびC両端電圧は、R=1/(2πfC)が成り立つfにおいて、電源の70%になりますが、電源側抵抗分があったり負荷をつけたりすると、この関係は崩れます。
簡単な回路構成なので、回路図を描いて手計算で確認してみてください。

単なるRとCからなる回路でしょうか。
これをフィルタとしてのカットオフ周波数とは、R=1/(2πfC)が成り立つfの値を示します。
これは、ご提示の下記に該当します。
 200kHz=1/(2πRC)
 RC=(1/(2π))×200kHz
このことから言えば、RとCの一方を任意に決めれば他方も決まります。
(以下、ローパスフィルタの例)
Rの決め方は以下が考えられます。
・電源側の抵抗分がゼロオームの場合…電源側から流しうる電流値を超えない値、最適な電流値を得る値
・電源側の抵抗分がゼロオームでない場合…「電源側から流しう...続きを読む

Qバンドパスフィルターについて計算方法がわかりません

90hz~200hzのバンドパスフィルターを作りたくて
計算のページを見つけたのですが(http://sim.okawa-denshi.jp/OPtazyuBakeisan.htm)
フイルターのことが判らないので
どこに何の数字を入れたら良いのかさっぱりわかりません。
どなたか教えていただけないでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

回答NO.3です。
補足説明です。
 
実際にフィルターをシミュレータで設計してみました。添付図を参照ください。

左の回路図が2次のアクティブ・バンドパスフィルタで右側の回路図がCRの2次バンドパスフィルタです。
回路図の下にそれぞれの周波数特性が示されてます。図でV(out)が2次のアクティブ・バンドパスフィルタの周波数特性で、V(out_cr)がCRの2次バンドパスフィルタの周波数特性です。
 回路は複雑ですが、2次のアクティブ・バンドパスフィルタの方が特性的に優れているのが分かると思います。必要な特性が分かりませんので必要に応じてどちらかのフィルタをお使いになれば良いかと思います。

QEXCELにてローパスフィルタを作成する

実験の測定データをEXCELでデータ整理しようと考えております。データ整理のためローパスフィルタをかけたいのですが、具体的にどういった式、もしくはEXCELの機能を使用したらいいのでしょうか?デジタルフィルタが良く分からないのでよろしくお願いします。
ちなみにローパスフィルタは1000Hzをかけたいです。

Aベストアンサー

時系列データの処理ならば

OutputData(n+1) = OutputData(n) + (InputData(n+1) - OutputData(n)) * dt / T

dt:データのサンプリング間隔
T:フィルタの時定数 1/2πf
f:カットオフ周波数
n,n+1:それぞれn個目,n+1個目のデータをしめす。

でいけると思いますが、一次のパッシブなんで効果が薄いかも。(普通はベッセルかけるんでしょうけど、そこまではわからない)

QExcelで微分をしたいのですが。。。

題意のままですが・・・(´;ω;`)ウッ…
Excelを使って微分の計算をすることは可能でしょうか・・・?
またExcelで使えるツールなどでももちろんOKです。
ご存知の方が見えましたらお助けお願いします。。。

Aベストアンサー

>エクセルを使って微分の計算をする
とはどういうことでしょうか。
たとえば、(1)y=Xの2乗の導関数のy=2Xを求めるということでしょうか。これは「数式処理」に該当し、エクセルは値を扱う(四則演算が中心)ものなので、お門違いの要求です。他のソフト(ただし原理的にどんな数式・関数に対しても求まるソフトはないようですが)を探しましょう。ただアドインという形だとプログラムを組んで何でもエクセルにぶち込めるようなので、そういう例があったとしたら、話は別です。
積分の原始関数を求めるというのも似たパターンでしょう。
そうではなくて
(2)上記の例で、導関数を、人間が!
(A)エクセルの関数式で与えてやり、
(B)またはその導関数の近似値を与える関数式を与えて
やるなら、
後はエクセルは「電卓の計算を繰り返し高速計算するような」ものですから可能と思います。
ただ1000個の数の足し算をするという風には簡単にいかないケースがあるとは思いますので、勉強がひつようでしょう。収束や近似や速度に合う条件・計算法が必要でしょうから。
y=Xの2乗の(1、1)点の接線の勾配を出すなら
2X1=2で簡単です。
微分でなくて、定積分なら数値計算法を質問する意味はあると思いますが。
エクセルは四則演算といっても初等的三角関数、対数
、行列計算、ガンマ関数などもあります。
上記は原則論ですが、エクセルは全世界の俊秀も使っているとおもわれ、いろいろな機能を付加されているかも知れないので、最低WEB照会程度はして、よく調べてください。またエクセルを入り口や出口の入力・結果表示の道具として使っているケースは多いようですから、そういうケースは「エクセルでできる」に該当しないと思います。

>エクセルを使って微分の計算をする
とはどういうことでしょうか。
たとえば、(1)y=Xの2乗の導関数のy=2Xを求めるということでしょうか。これは「数式処理」に該当し、エクセルは値を扱う(四則演算が中心)ものなので、お門違いの要求です。他のソフト(ただし原理的にどんな数式・関数に対しても求まるソフトはないようですが)を探しましょう。ただアドインという形だとプログラムを組んで何でもエクセルにぶち込めるようなので、そういう例があったとしたら、話は別です。
積分の原始関数を求...続きを読む


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