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定理1、2辺の長さの和は、他の一辺の長さより大きい
定理2、2辺の長さの差は、他の一辺の長さより小さい
を証明する問題で、
1の証明 △ABCにおいて辺BAのAを越える延長上にAD=ACであるような点Dをとると、BD=AB+AC…(1)
また△ACDは、∠Aを頂点とする二等辺三角形であるから
∠ACD=∠ADC
△BCDにおいて、線分ACは∠BCDの内部にあるから
∠BCD > ∠ADC
すなわち∠BCD > ∠ADC=∠BDC
ゆえに、定理2より BD>BC・・・(2)
(1)、2から AB+AC>BC
同様にしてBC+BA>CA,CA+CB>AB (終)

定理1の証明はできたんですが定理2の証明がどうしてもわからないのでどなたか教えてください。
定理1を使って証明したいです。お願いします

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A 回答 (4件)

面倒なので3片の長さをa,b,cとします。

一般性を失わずに
0<a<=b<=c
だとします。
また、b-a=x(x>=0)
また、c-b=y(y>=0)
と置きます。

定理2は、
|a-b|<c
|a-c|<b
|b-c|<a 
が全て成り立つことを言えば良いわけです。
b,cを消してa,x,yだけの式にしてみると、
|a-b|<c → x<a+x+y ここで x,y>=0,a>0なので、これは成り立つ。
|a-c|<b → x+y<a+x→ y<a   
|b-c|<a → y<a  

ここで定理1を使うと、
a+b>c
a+a+x < a+x+y
a < y
a<yが言えるので、OK.
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この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。
とても参考になりました。

お礼日時:2007/05/15 21:27

定理1を使うので ΔABCの3辺の長さをa,b,cとすると


b+c>a,c+a>bが成り立っているのでc>a-b,c>b-aしたがってc>|a-b|
同様にしてa>|b-c|,b>|c-a|
ということでしょうね
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    • 1
この回答へのお礼

より深く理解することができました。ありがとうございました。

お礼日時:2007/05/15 21:25

図を描いて証明はどうでしょう。



三角形abcとして
辺abを1辺の長さとする二等辺三角形を描く(三角形を二分するように)
これを三角形abdとする。(辺adは二辺の差になる)
∠adbは<90度 ですね
従って ∠cdbは>90度
よって 辺bc>辺cd
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この回答へのお礼

図を描いてやってみて何とかできました。ありがとうございました。

お礼日時:2007/05/15 21:24

あれれ?


そこまでいっているのでしたら・・・

AB+AC>BC
 ↓
AB>BC-AC

右辺は2辺の差ですよね?
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この回答へのお礼

うっかりしてました。回答ありがとうございました。

お礼日時:2007/05/15 21:23

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