中国剰余定理について。

以下のURLは、法が互いに素でない場合なのですが、噛み砕いて説明していただけないでしょうか？ご教授願います。すみません。
https://mathtrain.jp/remainder

質問者からの補足コメント

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  法が互いに素じゃないとき解が存在しないってことがあるのは大丈夫ですか？
  たとえば
  x≡4(mod.6)
  x≡1(mod.8)
  を満たす xは存在しない！
  なぜなら x≡4(mod.6)
  だからx は偶数じゃないといけないけど、
  x≡1(mod.8)
  は xが奇数であるってことをいってるから！
  一般には
  x≡b1(mod.m1)
  x≡b2(mod.m2)
  を満たす xが存在する必要十分条件は b1≡b2 (mod.gcd(m1,m2))
  が成立すること！
  んで、これが成立しているとき、
  これを満たすxが 0以上lcm(m1,m2)未満の範囲にただ 1 つある！
  んでそれを rっておくと
  x≡b1(mod.m1) x≡b2(mod.m2)⇔ x≡r(mod.lcm(m1,m2))
  が成立する！
  あとは互いに素な時と同じ感じでやればいけんじゃね。
  続く

    補足日時：2020/11/13 21:50

• 

  続きです。ここでこの文章の疑問点があり、なぜ、これが、b 1≡b2 が、必要十分条件となるのでしょうか？ご教授願いたいです。すみません。

    補足日時：2020/11/13 21:53

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/11/14 00:00

正整数 a, b, c に対し

ax+by=c となる整数 x, y が存在する iff c が a と b の最大公約数の倍数
だから.

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/13 19:43

「大丈夫」ってのは、どういう意味やねん？

法が互いに素でない場合に中国剰余定理がそのまま適用できるはずがない。
法が互いに素であることが、中国剰余定理の条件なのだから。
その場合にどう応用すれば中国剰余定理が使えるかが説明してあるのが、
そのリンク先の「互いに素でないときの連立合同式」の記事だ。
そもそも中国剰余定理が、解を構成する手順を示した定理ではなく、
解の存在と存在範囲と一意性を示しているだけだけのものだから、
「互いに素でないときの連立合同式」の記事も
「解が求められる」という性質のものではない。
ある範囲に解があることが判るだけだ。

この回答へのお礼

つまり、法が互いに素でない場合は、一部の連立合同方程式のみ満たすものがあり、法が互いに素である場合は、すべての連立合同方程式を満たす。ということでしょうか？ご教授願いたいです。すみません。

お礼日時：2020/11/13 21:42

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/10 20:06

中国剰余定理は、

連立合同式の解を求める方法を示しているのではなく、
解がとある mod で唯一に存在するという事実(だけ)を述べています。

この回答へのお礼

というと、どういうことでしょうか？別に法が互いに素でない場合でも大丈夫ということでしょうか？でもそれだと、中国剰余定理に反すると思うのですが。ご教授願います。すみません。

お礼日時：2020/11/11 08:15

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/10 08:20

そのリンク先は、十分噛み砕いて説明してあると思います。

通常は、もっとあっさり書きます。
あれで解らないなら、無理なのではないでしょうか？

この回答へのお礼

法が互いに素でない場合の時って、例えば、x≡2 （mod 4)とx≡3（mod 6)
の解を中国剰余定理を拡張すれば求められると言うことでしょうか？その記事（URL先)は。ご教授願います。すみません。

お礼日時：2020/11/10 17:57

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/11/09 23:32

なにがわからない?

この回答へのお礼

法が互いに素でない場合の時って、例えば、x≡2 （mod 4)とx≡3（mod 6)
の解を中国剰余定理を拡張すれば求められると言うことでしょうか？その記事（URL先)は。ご教授願います。すみません。

お礼日時：2020/11/10 17:57