写真中段に、1.63式を見るとω＞0ならrに対して〜〜垂直な方向になるとありますがこれは式をどのよう

写真中段に、1.63式を見るとω＞0ならrに対して〜〜垂直な方向になるとありますがこれは式をどのように見ればそれが読み取れますか？x=rcosθ=rcosωt y=rsinθ=rsinωt です。

No.5 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/06/07 10:40

Vx = -yω

Vy = xω
で、
　x = rcos(ωt)
　y = rsin(ωt)
ということなら、

Vx = -rωsin(ωt)　　　　①
Vy = rωcos(ωt)　　　　②

ですよね？

ここで
cos(A + π/2) = -sinA
cos(B) = sin(B + π/2)
になるので、①②は

①→Vx = -rωsin(ωt) = rωcos(ωt + π/2)　　③
②→Vy = rωcos(ωt) = rωsin(ωt + π/2)　　④

になります。

これと
　→r = (rcos(ωt), rsin(ωt))
と見比べれば

(a) ω>0 なら、rω>0 なので、→v の方が →r よりも「+ π/2」である、つまり →v は →r に対して「反時計回り」に垂直な方向だということになります。
(角度の向きは、「反時計回り」を正としているので）

(b) ω<0 なら、 ③ ④ を書き換えて
　sin(A - π) = -sin(A)
　cos(B - π) = -cos(B)
　ω = -|ω|
　r･|ω|>0
より
③→Vx = rωcos(ωt + π/2)
　　　 = -r･|ω|･{-cos(ωt + π/2 - π)}
　　　 = r･|ω|･cos(ωt - π/2)　　　　　　　⑤
④→Vy = rωsin(ωt + π/2)
　　　 = -r･|ω|･{-sin(ωt + π/2 - π)}
　　　 = r･|ω|･sin(ωt - π/2)　　　　　　　⑥

と書けば、→v の方が →r よりも「- π/2」である、つまり →v は →r に対して「時計回り」に垂直な方向だということになります。
(角度の向きは、「反時計回り」を正としているので）

この回答へのお礼

とても答えて頂きたい内容に適していて分かりやすかったのでベストアンサーにさせていただきます。ありがとうございました！

お礼日時：2024/06/08 21:42

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2024/06/07 11:06

No.5 です。

「図」をイメージして考えれば、

　Vx = -rωsin(ωt) = rωcos(ωt + π/2)　　③
　Vy = rωcos(ωt) = rωsin(ωt + π/2)　　④

は、ω>0 のときには何の疑問もなく読み取れると思います。

一方、ω<0 のときには、係数が
　rω<0
になってしまうので、→r と直接比べられません。
なので、これを「正」にする、つまり係数を
　-rω = r|ω| > 0
にする、そして③④を「180°ひっくり返して読む」（+π または -π する）ことが必要になるのです。

なお、「時間とともに ωt がどちらに進むか（ω>0 のとき「反時計回り」、ω<0 のとき「時計回り」、これは →r も →v も同じ）と、「→r と →v の位相のずれ、つまり +π/2 か -π/2 か」は関係なく、どちらも「反時計回りを正」としているということです。
なので、「ωt の進む方向」を基準にした「進み、遅れ」とは異なりますので注意してください。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/07 09:16

ω>0 なら、

v = (-yω,xω) = ω(-y,x) は (-y,x) と
方向も向きも同じになる。

(-y,x) は r = (x,y),
A = (
　　　0　-1
　　　1　0　 )
によって
(-y,x)の列ベクトル = A (rの列ベクトル) と書ける。

A は、どんな一次変換だろうか？
(1,0) を (0,１) へ
(0,1) を (-1,0) へ写すのだから、
これは、反時計回りの90°回転を表している。

よって、写真の文章のようになる。
ω<0 なら、
方向が同じで、向きは反対。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/07 06:39

内積を知ってますか？

高校で習う筈ですが

ベクトルa=(a1、a2)、b=(b1、b2)の内積
a・b=a1b1 + a2b2 がゼロなら、
aの大きさがゼロ 又は、bの大きさがゼロ、 又は aとbが垂直
です。

v=(-yω、xω)、r=(x、y)
v・r=-yωx+xωy=0
|r|≠0, |v|≠0
よって、rとvは垂直です。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/07 04:07

r=(x,y)

と
v=(-yω,xω)
の
内積

(r,v)=-xyω+xyω=0

だから

r
と
v
は
垂直になる

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/06/07 02:52

図示しちゃダメなん?