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質問者：ゆゆにゃ。
質問日時：2024/06/10 16:13
回答数：6件

真ん中の等式をしめすのにたたって
回答は微分してましたけどあんまり、不自然だとおもうので他の回答はありませんか？？

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回答 (6件)

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No.4ベストアンサー

回答者：ありものがたり
回答日時：2024/06/11 00:24

多項式の係数は、微分して

φ2(X) = (d/dt) det(tE3 - X) ｜_{t=0} で求まるでしょ。

3×3 行列で第k行k列成分だけが 1 で他は 0 のものを Uk と置いて
f(p,q,r) = det(pU1 + qU2 + rU3 - X) を定義すると、
det(tE3 - X) = f(t,t,t) になっている。

合成関数の微分則から
(d/dt) f(p,q,r) = { D1 f(p,q,r) }(dp/dt)
　　　　　　　　+ { D2 f(p,q,r) }(dq/dt)
　　　　　　　　+ { D3 f(p,q,r) }(dr/dt) だから、
∀t, p = q = r = t のときは
(d/dt) f(t,t,t) = D1 f(t,t,t)・1 + D2 f(t,t,t)・1 + D3 f(t,t,t)・1 になる。

余因子の定義(てか、余因子展開を各成分で偏微分して)
(∂/∂x_i,j) det X = (-1)^(i+j) ・ det X^(i,j) より
D1 f(p,q,r) = det (pU1 + qU2 + rU3 - X)^(1,1),
D2 f(p,q,r) = det (pU1 + qU2 + rU3 - X)^(2,2),
D3 f(p,q,r) = det (pU1 + qU2 + rU3 - X)^(3,3) なので、
p = q = r = 0 を代入すると
D1 f(0,0,0) = det (-X)^(1,1),
D2 f(0,0,0) = det (-X)^(2,2),
D3 f(0,0,0) = det (-X)^(3,3) となる。

以上をまとめると、
φ2(X) = (d/dt) det(tE3 - X) ｜_{t=0}
　　　= D1 f(t,t,t) + D2 f(t,t,t) + D3 f(t,t,t) ｜_{t=0}
　　　= det (-X)^(1,1) + det (-X)^(2,2) + det (-X)^(3,3)
　　　= { det X^(1,1) + det X^(2,2) + det X^(3,3) } ・ (-1)^2

最後の・(-1)^2 は、
X^(1,1), X^(2,2), X^(3,3) が 2×2 行列なので、こうなる。
n 次行列 A とスカラー c に対し、
det(cA) = (c^n)det A.

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お礼日時：2024/06/11 11:16

No.6

回答者： tknakamuri
回答日時：2024/06/11 09:42

>ぶー手を動かしたけどもとまらないから

3次の行列式の計算ができないってこと？

一応サラスの公式のサイト貼っておきます。
https://takun-physics.net/12154/

これがあれば瞬殺です。

Xij は行列 X の i行j列の要素とします。

まず、t=0 の時の行列式の値(= det(-X)=-det(X)) が-φ3(X) だから
φ3(X)=det(X)

t^2 の係数はサラスの公式を見ればわかるけど、
t^2が付く項は対角要素の積にしか現れないから
-φ1(X) = -X11-X22-X33=-trace(X) → φ1(X) = trace(X)

ちょっとめんどくさいのはt^1の係数で、サラスの公式から
t^1 の係数だけ取り出すと
φ2(X)=X22X33＋X11X33＋X11X22
- X12X21 - X23X32 - X13X31

これと小行列式の和を比べてみれば
一致していることがわかります。

det(X^(1, 1)) = X22X33-X23X32
det(X^(2, 2)) = X11X33-X13X31
det(X^(3, 3)) = X11X22-X12X21
#X^(i, j) : X からi行j列を抜いた小行列