この

真ん中の等式をしめすのにたたって
回答は微分してましたけどあんまり、不自然だとおもうので他の回答はありませんか？？

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/11 00:24

多項式の係数は、微分して

φ2(X) = (d/dt) det(tE3 - X) ｜_{t=0} で求まるでしょ。

3×3 行列で第k行k列成分だけが 1 で他は 0 のものを Uk と置いて
f(p,q,r) = det(pU1 + qU2 + rU3 - X) を定義すると、
det(tE3 - X) = f(t,t,t) になっている。

合成関数の微分則から
(d/dt) f(p,q,r) = { D1 f(p,q,r) }(dp/dt)
　　　　　　　　+ { D2 f(p,q,r) }(dq/dt)
　　　　　　　　+ { D3 f(p,q,r) }(dr/dt) だから、
∀t, p = q = r = t のときは
(d/dt) f(t,t,t) = D1 f(t,t,t)・1 + D2 f(t,t,t)・1 + D3 f(t,t,t)・1 になる。

余因子の定義(てか、余因子展開を各成分で偏微分して)
(∂/∂x_i,j) det X = (-1)^(i+j) ・ det X^(i,j) より
D1 f(p,q,r) = det (pU1 + qU2 + rU3 - X)^(1,1),
D2 f(p,q,r) = det (pU1 + qU2 + rU3 - X)^(2,2),
D3 f(p,q,r) = det (pU1 + qU2 + rU3 - X)^(3,3) なので、
p = q = r = 0 を代入すると
D1 f(0,0,0) = det (-X)^(1,1),
D2 f(0,0,0) = det (-X)^(2,2),
D3 f(0,0,0) = det (-X)^(3,3) となる。

以上をまとめると、
φ2(X) = (d/dt) det(tE3 - X) ｜_{t=0}
　　　= D1 f(t,t,t) + D2 f(t,t,t) + D3 f(t,t,t) ｜_{t=0}
　　　= det (-X)^(1,1) + det (-X)^(2,2) + det (-X)^(3,3)
　　　= { det X^(1,1) + det X^(2,2) + det X^(3,3) } ・ (-1)^2

最後の ・(-1)^2 は、
X^(1,1), X^(2,2), X^(3,3) が 2×2 行列なので、こうなる。
n 次行列 A とスカラー c に対し、
det(cA) = (c^n)det A.

この回答へのお礼

お礼日時：2024/06/11 11:16

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/11 09:42

>ぶー手を動かしたけどもとまらないから

3次の行列式の計算ができないってこと？

一応サラスの公式のサイト貼っておきます。
https://takun-physics.net/12154/

これがあれば瞬殺です。

Xij は 行列 X の i行j列の要素とします。

まず、t=0 の時の行列式の値(= det(-X)=-det(X)) が-φ3(X) だから
φ3(X)=det(X)

t^2 の係数は サラスの公式を見ればわかるけど、
t^2が付く項は対角要素の積にしか現れないから
-φ1(X) = -X11-X22-X33=-trace(X) → φ1(X) = trace(X)

ちょっとめんどくさいのはt^1の係数で、サラスの公式から
t^1 の係数だけ取り出すと
φ2(X)=X22X33＋X11X33＋X11X22
- X12X21 - X23X32 - X13X31

これと小行列式の和を比べてみれば
一致していることがわかります。

det(X^(1, 1)) = X22X33-X23X32
det(X^(2, 2)) = X11X33-X13X31
det(X^(3, 3)) = X11X22-X12X21
#X^(i, j) : X からi行j列を抜いた小行列

この回答へのお礼

すごいです、ありがとうございます:-O

お礼日時：2024/06/11 11:18

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/11 09:07

ちな、No.4 の方法では、

一般に n 次の行列 X に対して
多項式 det(tE - X) の t の 1 次項の係数が
Σ[k=1..n] (-1)^(n-1) ・ det( X^(k,k) )
であることが判る。

この回答へのお礼

わたしもいっぱんのnで、考えてたからむずかしくかゆがえてゃいました。

お礼日時：2024/06/11 11:17

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/10 22:10

3次の固有方程式の形を求める問題だよね。

いろんな教科書に載ってるけど、それを導かせる演習。

地道に計算してもたいしたことない。
両辺をばらし、t の各べき乗に関して整理して
係数比較すればおしまい。簡単ですよ。

四の五の言わず手を動かそう。

この回答へのお礼

ぶー手を動かしたけどもとまらないから回答みたら微分してましたから質問しました。

お礼日時：2024/06/11 07:34

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/10 21:44

画像の通り

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2024/06/11 11:15

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/06/10 20:42

直接計算すりゃいいじゃん.

この回答へのお礼

だめだよ？？固有値についてを成分だけで表すのはできないから、

お礼日時：2024/06/10 20:44