次の曲線軍の微分方程式を求めよ。 (1)ay^2 = 4(x+b) (a,bは任意定数) (2)ax

次の曲線軍の微分方程式を求めよ。

(1)ay^2 = 4(x+b)
(a,bは任意定数)

(2)ax^2 + by^2 =1
(a,bは任意定数)

この手の問題は両辺を微分して代入するのは知っているんですが、どうしても解くことが出来ません。解き方を知っている方お願いします。。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/14 10:21

(1)

ay^2=4(x+b)
↓微分すると
2ayy'=4
↓2で割ると
ayy'=2
↓微分すると
a{(y')^2+yy"}=0
↓aで割ると
∴
(y')^2+yy"=0

(2)
ax^2+by^2=1
↓微分すると
2ax+2byy'=0
↓2で割ると
ax+byy'=0
↓微分すると
a+b(y')^2+byy"=0
↓xをかけると
ax+bx(y')^2+bxyy"=0
↓ax=-byy'だから
-byy'+bx(y')^2+bxyy"=0
↓bで割ると
-yy'+x(y')^2+xyy"=0
∴
xyy"+x(y')^2-yy'=0

この回答へのお礼

お礼日時：2024/05/14 13:04

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/13 23:43

任意係数を 2個消すためには、2階微分が必要です。

(1)
ay^2 = 4(x+b) を微分して、 2ayy’ = 4、すなわち ayy’ = 2。
もう一度微分して、a(y’)^2 + ayy” = 0。
以上の 3式から、a,b を含まない式を作ればよい。

ayy’ = 2 より a ≠ 0 だから、a(y’)^2 + ayy” = 0 ⇔ (y’)^2 + yy” = 0。
答えは (y’)^2 + yy” = 0 でいいかな。

(2)
ax^2 + by^2 = 1 を微分して、2ax + 2byy’ = 0、すなわち ax + byy’ = 0。
もう一度微分して、a + b(y’)^2 + byy” = 0。
以上の 3式から、a,b を含まない式を作ればよい。

ax^2 + by^2 = 1　　　　…[1]
ax + byy’ = 0　　　　　…[2]
a + b(y’)^2 + byy” = 0　…[3]
[1] - [2]・x で、 b(y^2 - xyy’) = 1　　…[4]
[1] - [2]・x^2 で、 b(y^2 - (x^2)(y’)^2 - (x^2)yy’) = 1　…[5]
[4] よｒ b ≠ 0 だから、[4][5] より y^2 - xyy’ = 1/b = y^2 - (x^2)(y’)^2 - (x^2)yy’。
答えは y^2 - xyy’ = y^2 - (x^2)(y’)^2 - (x^2)yy’、
すなわち、xy’(xy’ + xy - y) = 0 でよさげ。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/05/14 13:04

No.1 回答者： そこらへんの物知りな人 回答日時： 2024/05/13 23:31

おけ。

解きます。大学数学ってむずいよな(*´-`)

⑴ay^2=4(x+b)
左辺を微分して、
dy/dx (ay^2) = 2ay(dy/dx)
右辺を微分して、
dy/dx (4(x+b)) = 4
即ち、
2ay(dy/dx) = 4
dy/dx = 2/(ay) (答え

⑵ )ax^2 + by^2 =1
左辺を微分して、
d(ax^2)/dx = 2ax
d(by^2)/dy = 2by
右辺を微分して、
d(1)/dx = 0
d(1)/dy = 0
即ち、
2ax + 2by(dy/dx) = 0
dy/dx = -ax/by (答え

解析学はとにかく数Ⅲの内容に慣れることです。dy/dxとかなんじゃそれと思っていると訳わからなくなります。