数学Aの合同式について質問です。 合同式の計算をしているところがあるのですが、 合同式って、余りにし

数学Aの合同式について質問です。
合同式の計算をしているところがあるのですが、
合同式って、余りにしてから計算するのっていいんですか？
合同式の式変形がごちゃごちゃしすぎてて意味わかりません。波線を引いているところについて合同式の定義とか性質とかでここがこうだからって教えていただけませんか？

質問者からの補足コメント

• 

  19²≡1を代入って、全く合同式詳しくないのですが、(mod10)においてのみいろんな形の式に代入することができるのでしょうか？
  
  それに、、、余りを代入して式が成り立つんですか？
  
  あと、合同式が成り立つ理由って、もしかしてこれでしょうか？全く合同式とは関係ない項目なのですが、、

  
    補足日時：2024/05/05 21:06

• 

  合同式についての説明は、このページだけなのですが、、
  19の二乗に1を代入しているのって、
  この性質のどれを使ってるんですか？
  
  絶対ここに書いてないですよね。
  代入できるとも書いていないですし、
  ひどいですo(｀ω´ )o

  
    補足日時：2024/05/05 21:13

No.16 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/13 14:56

a≡b(modm)→自然数kに対しa^k≡b^k(modm)

だから
19²≡1(mod10)→自然数9に対し(19²)^9≡1^9(mod10)

a≡b(modm),c≡d(modm)→ac≡bd (modm)
だから
(19²)^9≡1^9(mod10),19≡9(mod10)
↓
(19²)^9・19≡1^9・9(mod10)

だから

19の二乗に1を代入しているようにみえるけれども
19の二乗に1を代入したと考えてはいけません

例えば

4≡1(mod 3)
だからといって

2^4≡1(mod 3)

の4に1を代入すると

2^1≡2≠1(mod 3)となって矛盾する
から

a≡b(modm)

だからといって
式中の　a を　b で置き換えても
式の値は ≡ の意味では変わらないとは限らない

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/06 20:17

19²≡1(mod10)だから

19²=10x+1となる整数xがある
↓両辺を2乗すると
(19²)²=(10x+1)²=100x²+20x+1=10(10x²+2x)+1

No.14 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/06 19:00

←No.12

いや、19^2 に 1 を代入しているんだよ。
19^2 ≡ 1 なんだから、式中の 19^2 を 1 で置き換えても
式の値は ≡ の意味では変わらないでしょ？

「代入」って言葉が変数と関係してなきゃイヤだという人は、
Ｎo.5 のように考えてもいいし、
「代入した」を「部分式を計算した」と言い換えてもいい。
言い方の違いだけで、内容は同じだけど。

No.13 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/06 17:14

使っているのは性質２の4だよね。

証明
mod m が r の数を nm + r(n：整数, 0≦ r < m) と表すと
(nm + r)^p (pは正の整数)
= Σ[k=0→p]pC(p-k)・(nm)^k・r^(p-k)
= Σ[k=1→p]pC(p-k)・(nm)^k・r^(p-k) + r^p
= nm[[k=1→p]pC(p-k)・(nm)^(k-1)・r^(p-k)] + r^p
よって
(nm + r)^p mod m = r^p mod m

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/06 16:46

19の二乗に1を代入しているのではありません

a=b(modm)→自然数kに対しa^k=b^k(modm)
と
a=b(modm),c=d(modm)→ac=bd (modm)
を使ってるんです

a=b(modm)→自然数kに対しa^k=b^k(modm)
だから
a=19^2
b=1
m=10
k=9
とすると

19^2=1(mod10)が成り立つから
↓
自然数9に対し(19^2)^9=1^9=1(mod10)
が成り立つ

a=b(modm),c=d(modm)→ac=bd (modm)
だから

a=(19^2)^9
b=1
c=19
d=9
とすると

(19^2)^9=1(mod10)
19=9(mod10)
が成り立つから
↓
(19^2)^9・19=9(mod10)
が成り立つ

No.11 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/06 15:58

No.4 の回答を読んだ後に

補足 05/05 21:13 を書いてるってことは、
質問が No.1 で解決しなかった理由は
No.5 の点にあるんじゃないかと思うんだが。
皆、結局 No.1 と同じこと言ってるだけだし。

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/06 15:33

19の二乗に1を代入しているのではありません

a=b(modm)→自然数kに対しa^k=b^k(modm)
と
a=b(modm),c=d(modm)→ac=bd (modm)
を使ってるんです

a=b(modm)→自然数kに対しa^k=b^k(modm)
だから
a=19^2
b=1
m=10
k=9
とすると

19^2=1(mod10)
→自然数9に対し(19^2)^9=1^9=1(mod10)

a=(19^2)^9
b=1
c=19
d=9
とすると

(19^2)^9=1(mod10),19=9(mod10)
→(19^2)^9・19=9(mod10)

No.9 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/05/06 11:39

合同式の性質Ⅱの写真に書いて有ることを使うのです。

10≡0(mod10)が出発点。

9≡9は当たり前だから、10≡0との2式の辺々同士を足すと10+9≡0+9
ここから、19≡9

19≡9と19≡9の辺々同士を掛け算すると、19²≡9²
これに19≡9の辺々同士を掛け算すると、19³≡9³
繰り返して使うと、19ⁿ≡9ⁿ。

19²≡9²で9²=81。81≡1だから、9²≡1
19²≡9²、9²≡1だから性質Ⅱにより19²≡1

(19²)⁹=19²･(19²･19²･19²･19²･19²･19²･19²･19²･19²)

19²≡1なので、性質Ⅱより
(19²)⁹=1･(19²･19²･19²･19²･19²･19²･19²･19²･19²)

これを繰り返し使うと
(19²)⁹=1･1･1･1･1･1･1･1･1=1

合同式の性質Ⅱを何回も繰り返して使うのです。

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/06 10:11

19の二乗に1を代入しているのではありません

a=b(modm),c=d(modm)→ac=bd (modm)
を使ってるんです

19^2=1(mod10),19^2=1(mod10)
→(19^2)^2=(19^2)(19^2)=1・1=1(mod10)

(19^2)^4=(19^2)^2(19^2)^2=1・1=1(mod10)
(19^2)^8=(19^2)^4(19^2)^4=1・1=1(mod10)
(19^2)^9=(19^2)^8(19^2)=1・1=1(mod10)

(19^2)^9=1(mod10),19=9(mod10)
→(19^2)^9・19=9(mod10)

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/06 06:30

a=b(modm),c=d(modm)のとき

ac=bd (modm)

だから

19^2=1(mod10),19^2=1(mod10)

(19^2)^2=(19^2)(19^2)=1・1=1(mod10)

(19^2)^4=(19^2)^2(19^2)^2=1・1=1(mod10)

(19^2)^8=(19^2)^4(19^2)^4=1・1=1(mod10)

(19^2)^9=(19^2)^8(19^2)=1・1=1(mod10)