「ブロック機能」のリニューアルについて

数学の乗数で、マイナス乗が腑に落ちません。

例えば、

2のー3乗は、1/8になると思うのですが、

この原理を単純な暗記と捉えて、暗記することはできるのですが、ただ、

そもそもなぜ、マイナス乗すると、分子と分母が逆になるのでしょうか?

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A 回答 (10件)

はは、暗記じゃないよ。

数学は

ちゃんと基礎からきちんと理解しておかないと
(小学2年生)
 ある数を繰り返し足し続けるときは掛け算にする
 2 + 2 + 2 + 2 = 2 × 4
(中学1年生)
 数と演算を区別する。
  すなわち引き算、割り算はそれぞれ足し算、掛け算と考える。
   2-3、2÷3ではなく、(+2) + (-3)、(+2)×(1/3)とする。
  これによって、交換・分配・結合が未知数を含めて自在に計算できる。
   2-3≠3-2だけど、(+2) + (-3)=(-3) + (+2)
 累乗とは、同じ数を掛け続けること
   2×2×2×2 = 2⁴
   a×a×a・・×a = aⁿ
    ̄ ̄ ̄n回 ̄ ̄
 累乗の意味から
  a×a×a × a×a =
   a³  × a² = a⁽³⁺²) = a⁵

 もうわかるね。
   a⁴ ÷ a² は、a⁴ × 1/a² のことだったので、
  a⁴/a² = a²
  a×a×a×a ÷ a×a =
   a⁴   / a² = a⁽⁴⁻²) = a²

>マイナス乗すると、分子と分母が逆になるのでしょうか?
 そうではない。中学一年の最初に、「割り算はその逆数をかけること」と学んだはず。
 a^(m) × a^(n) = a^(m+n)
  m,nが正だろうが負だろうが、成り立つように引き算、割り算を忘れろと言われたはず。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2016/11/22 13:35

ちょっと、いじ悪になりますが。


>マイナス乗すると、分子と分母が逆
結果だけほしがる人の考え方。
分子と分母が逆?、別に逆にはなっていません、2³なら8、なら8/1と表せば分子には違いないが、その考え自体が間違いです。
指数の考え方、=底が同じなら、割り算は指数の引き算になる、結果指数がマイナスになった場合。
指数を含まない、元の数に戻せば、割り算(分数)になり、必然的にそうなるだけです。
この場合だけの約束ではなく、指数の法則を拡大して考えると必然の結果なんです。
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ー3  ー2  ー1 0 1 2 3


 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
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決め事ですからね。

都合が良いとか美しいとかが
理由です。

まだまだ、0乗とか、(2/3)乗とか複素べきとか、最初の定義を
遥かに越えた拡張がなされてます(^-^;
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指数演算上の取り決め(約束事)なんです。


例えば2³÷2²は、(2×2×2)÷(2×2)となり、分数で書くと
(2×2×2)/(2×2)。
分子と分子の2が約分できて、分子の2が1だけが残って、答えは2。

つまり、2³÷2² = 2³⁻² = 2¹ = 2。指数の3-2を計算した結果を指数すれば良いとわかります。
a˟÷aⁿ = a˟⁻ⁿ が指数の割り算法則です。

で、それをそのまま使うと、a˟÷a˟ = a˟⁻˟=a⁰ と成ってしまう。
同じ物を同じ物で割るのだから、a˟÷a˟=1
ならば、a⁰=1と約束してしまえば、a˟⁻˟=a⁰=1となって、どんなxについても成り立ちます。
2³÷2³ = 2³⁻³ = 2⁰=1 で上手く行きます。

ではa˟÷aⁿでx<n の場合はどうするか?です。
2²÷2³だと 2²⁻³ = 2⁻¹ と成ってしまう。
これも基本に戻って分数で書くと2²÷2³=(2×2)/(2×2×2)。
分母分子を約分すると分母に2が残り分母や全部約されて1になる。
だから、2⁻¹=1/2¹ と約束すれば上手く行きます。
なので、a⁻˟ = 1/a˟ と約束します。

これによって、a˟÷aⁿ = a˟⁻ⁿ の指数の割り算法則がマイナスや0を含めた整数の範囲内で使えるようになります。

a⁰=1、a⁻˟ = 1/a˟は理論を綺麗にするための約束事なんです。

2のー3乗はこれ等の約束事によって1/2³ = 1/8 と成ります。
あくまで数学論理を綺麗にする為の約束ですよ!
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2016/11/22 13:45

2^3とは、(2倍する行為)を3回すると理解しましょう。


だから2^10とは(2倍する行為)を10回した物。
2^(-3)とは(2倍する行為)の逆を3回すると解釈します。
そう考えてやってると、自然に(1/2倍)を3回と考えられます。
もう一つ大事なことが2^0=1であること。
(基準である1)に(2倍する行為)を0回やると解釈できる事が必須です。
足し算引き算の基準は0ですが、乗数での基準は1なのですから。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2016/11/22 13:45

3²÷3³=3^(-1)


3²/3³=約分すれば、1/3^1=1/3
底が同じ指数を含む数字同士の割り算は指数の引き算になる。
指数がマイナス数値=その数値になる指数同士の割り算を分数にして約分した結果。
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なぜって、これは定義です。

つまり約束事です。
負の指数をこう決めておくと、指数法則が指数が負の場合にもなりたつので、
(これ、重要です!)
いろいろと便利だからです、はい(^_^)。
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2^2=2×2


2^3=2×2×2=2^2×2
2^4=2^3×2・・・と2をかけると指数が一つ増えます。

逆に、2^3=2×2×2×2÷2=2^4÷2
2^2=2×2×2÷2=2^3÷2・・・と2で割ると指数が一つ減ります。

この割り算を更に進めて、更に指数を一つずつ減らしていきます。
2^1=2^2÷2=2
2^0=2^1÷2=2÷2=1
2^(-1)=2^0÷2=1÷2=1/2
2^(-2)=2^(-1)÷2=1/2÷2=1/2×1/2=1/4
2^(-3)=2^(-2)÷2=1/4÷2=1/4×1/2=1/8・・・
でどうでしょうか。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2016/11/22 13:35

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