数学Aの合同式について質問です。 合同式の計算をしているところがあるのですが、 合同式って、余りにし

数学Aの合同式について質問です。
合同式の計算をしているところがあるのですが、
合同式って、余りにしてから計算するのっていいんですか？
合同式の式変形がごちゃごちゃしすぎてて意味わかりません。波線を引いているところについて合同式の定義とか性質とかでここがこうだからって教えていただけませんか？

質問者からの補足コメント

• 

  19²≡1を代入って、全く合同式詳しくないのですが、(mod10)においてのみいろんな形の式に代入することができるのでしょうか？
  
  それに、、、余りを代入して式が成り立つんですか？
  
  あと、合同式が成り立つ理由って、もしかしてこれでしょうか？全く合同式とは関係ない項目なのですが、、

  
    補足日時：2024/05/05 21:06

• 

  合同式についての説明は、このページだけなのですが、、
  19の二乗に1を代入しているのって、
  この性質のどれを使ってるんですか？
  
  絶対ここに書いてないですよね。
  代入できるとも書いていないですし、
  ひどいですo(｀ω´ )o

  
    補足日時：2024/05/05 21:13

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/06 06:19

19^19=19^(2・9+1)=(19^2)^9・19=9(mod10)

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/06 01:14

＞ 19の二乗に1を代入しているのって、

＞ この性質のどれを使ってるんですか？

ああ、そこに引っかかっているのか。
定数への代入って、ユークリッド互助法なんかでも
拒否感を示す人がたまにいるよね。

そこに抵抗感があるなら、こう考えてみたら？
x ≡ 19^2 は 19^19 ≡ (x^9)・19 を満たす。
19^2 ≡ 1 なんだから、
x ≡ 1 も 19^19 ≡ (x^9)・19 を満たす。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/05 22:11

＞ (mod10)においてのみ代入することができるのでしょうか？

mod m の m がいくつであっても、多項式への代入はできます。
No.1 の言ってるとおり、
a ≡ A (mod m) かつ b ≡ B (mod m) ならば
a + b ≡ A + B (mod m) と ab ≡ AB (mod m) が成り立つからです。

証明は簡単です。
整数 m, a, b, A, B に対して
a = A + mx, b = B + my が成立する整数 x, y が存在するとき、
a + b = (A + B) + m(x + y), ab = AB + m(Ay + Bx + mxy) が成り立ち
x + y も Ay + Bx + mxy も整数だからです。

このことを、標語的には、
「mod の世界では足し算と掛け算が自由にできる」とか
「マイナス40° の世界ではバナナで釘が打てる」とか言います。
整数環 Z の加法乗法は、商集合 Z/mZ 上で well-defined である
とか言ったほうが、無難ではありますが。

多項式とは足し算と掛け算で構成される式のことですから、
これらの計算を繰り返せば、整数係数の多項式 f( ) に対して
a ≡ A (mod m) ならば f(a) ≡ f(A) (mod m) が示せます。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/05/05 23:10

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2024/05/05 21:37

19が2箇所に出てくるからややこしいんでしょう。

まずは
　　x¹⁹ = (x²)⁹x
である。で、以下は全部mod 10だとして、もし
　　x²≡ 1
なら、
　　(x²)⁹ ≡ 1⁹ = 1
ゆえに
　　(x²)⁹x ≡ x
なので
　　x¹⁹ ≡ x
である。
　だから特に x=19 の場合には
　　19¹⁹ ≡ 19
であり、そして、
　　19 ≡ 9
だ、という話です。

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/05/05 21:29

>>19²≡1を代入って、余り合同式詳しくないのですが、(mod10)においてのみ代入することができるのでしょうか？

mod9でもmod20でも、何であっても代入出来ます。
例えば25≡1(mod6)です。
なので、25²=25×25≡1×1≡1(mod6)
試しに25²を6で割って見ましょう。余り1ですよ。

=と同じ様な計算が出来る事知ってると、物凄く便利です。
（ガウス先生バンザイ！）

この回答へのお礼

もう一度読んでください

お礼日時：2024/05/05 23:11

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/05/05 20:55

合同式は割り算には注意がいるけど、掛け算・足し算・引き算は=と同じに扱えます。

(証明は数Aの範囲）。

普通の指数法則で19¹⁹=19¹⁸⁺¹=19¹⁸×19、19¹⁸=(19²)⁹×19。

≡も同じ事が成立つので、19¹⁹≡19¹⁸⁺¹≡19¹⁸×19、19¹⁸≡(19²)⁹
∴19¹⁹≡(19²)⁹×19

プリントの1行目の19≡9、19²≡1を代入すると
19¹⁹≡(19²)⁹×19≡1⁹×9

この回答へのお礼

ありがとうございます。

19²≡1を代入って、余り合同式詳しくないのですが、(mod10)においてのみ代入することができるのでしょうか？

それに、余りを代入して式が成り立つんですか？
解説ありがとうございます。
自分の持っている教材では、余りを代入することができるのような記載がなかったのですが、余りを代入できるという性質はあるのでしょうか？

お礼日時：2024/05/05 21:15