
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
ある関数fをFourier変換したものをFとし,それをFourier逆変換で戻すと,元の関数fに戻る必要があります.すなわち
F(k)=(1/2π)∫[x=-∞~∞]f(x)e^(-ikx)dx (Fourier変換)---(1)
f(x')=∫[k=-∞~∞]F(k)e^(ikx')dk (Fourier逆変換)---(2)
としたとき,(1)を(2)の右辺に代入した際,右辺はf(x')に一致しなければなりません.
そこで実際代入してみると,
(2)の右辺
=∫[k=-∞~∞]((1/2π)∫[x=-∞~∞]f(x)e^(-ikx)dx)e^(ikx')dk
=∫[x=-∞~∞]f(x)((1/2π)∫[k=-∞,∞]e^(-ik(x-x'))dk)dx
となります.これがf(x')に一致するということなので,δ関数の定義より
f(x')=∫[x=-∞~∞]f(x)δ(x-x')dx
であることに注目すれば
δ(x-x')=(1/2π)∫[k=-∞,∞]e^(-ik(x-x'))dk
であるとわかります.
返事が遅れてしまいすみませんでした。
確かにNo.3さんの証明だと簡単に説明できますね。
また機会があればよろしくお願いします。
No.2
- 回答日時:
デルタ関数δ(x)の定義は、x=0のときδ(x)=無限大、それ以外はδ(x)=0です。
まず形式的に付いてる2πは、三角関数を一周期に亘って時間積分する際に出る係数です。
次に、e^(-ωt)=cos(ωt)-jsin(ωt)と分けます。
ω=0でない場合は、sinもcosも一周期時間の範囲を積分すると0です。-∞~∞はそれを無限回繰り返すからやはり=0です。
ω=0のときはcos(0)=1、sin(0)=0ですから-∞~∞の積分をするとcosの項によって無限大になります。
つまりωが0でないなら結果は0、ωが0なら結果は無限大、これはδ関数の定義と同じなので、δ関数と等しい。
無限大に2πを掛けるのはフーリエ変換の式との形式合わせです。
返事が遅れてしまいすみませんでした。
説明されているように、オイラーの公式を用いて計算する方法は思いつきませんでした。
おかげで理解を深めることができました。ありがとうございました。
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