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∫[-∞~∞]e^(-jωt)dt=2πδ(ω)
となるのは何故なんでしょうか?フーリエの本を読んでもよくわからないので、できるだけ詳しく教えてください。よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

ある関数fをFourier変換したものをFとし,それをFourier逆変換で戻すと,元の関数fに戻る必要があります.すなわち


F(k)=(1/2π)∫[x=-∞~∞]f(x)e^(-ikx)dx (Fourier変換)---(1)
f(x')=∫[k=-∞~∞]F(k)e^(ikx')dk (Fourier逆変換)---(2)
としたとき,(1)を(2)の右辺に代入した際,右辺はf(x')に一致しなければなりません.

そこで実際代入してみると,
(2)の右辺
=∫[k=-∞~∞]((1/2π)∫[x=-∞~∞]f(x)e^(-ikx)dx)e^(ikx')dk
=∫[x=-∞~∞]f(x)((1/2π)∫[k=-∞,∞]e^(-ik(x-x'))dk)dx
となります.これがf(x')に一致するということなので,δ関数の定義より
f(x')=∫[x=-∞~∞]f(x)δ(x-x')dx
であることに注目すれば
δ(x-x')=(1/2π)∫[k=-∞,∞]e^(-ik(x-x'))dk
であるとわかります.
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この回答へのお礼

返事が遅れてしまいすみませんでした。
確かにNo.3さんの証明だと簡単に説明できますね。
また機会があればよろしくお願いします。

お礼日時:2004/05/12 16:53

デルタ関数δ(x)の定義は、x=0のときδ(x)=無限大、それ以外はδ(x)=0です。



まず形式的に付いてる2πは、三角関数を一周期に亘って時間積分する際に出る係数です。

次に、e^(-ωt)=cos(ωt)-jsin(ωt)と分けます。
ω=0でない場合は、sinもcosも一周期時間の範囲を積分すると0です。-∞~∞はそれを無限回繰り返すからやはり=0です。
ω=0のときはcos(0)=1、sin(0)=0ですから-∞~∞の積分をするとcosの項によって無限大になります。
つまりωが0でないなら結果は0、ωが0なら結果は無限大、これはδ関数の定義と同じなので、δ関数と等しい。

無限大に2πを掛けるのはフーリエ変換の式との形式合わせです。
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この回答へのお礼

返事が遅れてしまいすみませんでした。
説明されているように、オイラーの公式を用いて計算する方法は思いつきませんでした。
おかげで理解を深めることができました。ありがとうございました。

お礼日時:2004/05/12 17:02

この超関数の厳密な証明はかなり長くなります。

詳細な証明は”工学のための応用フーリエ積分”超関数論への入門的アプローチ オーム社 の書籍に書いてあります。ご参考まで
なお、この本はすでに絶版なので大学の図書館にあると思います。
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この回答へのお礼

返事が遅れてしまいすみませんでした。
紹介いただいた本ですが、大学の図書館にはありませんでした。しかし、しっかりと証明されている本が見つかり納得できました。

お礼日時:2004/05/12 16:48

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