積分 ∫dx/(x^2+a^2) を変換変数x=atan(u) を用いて積分するとき、どうなるのか教

積分
∫dx/(x^2+a^2)
を変換変数x=atan(u)
を用いて積分するとき、どうなるのか教えて欲しいです。答えにarctan出てきます。

No.2 ベストアンサー 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/04/12 16:29

ｘ＝atanu

dx=a/cos²u du
∫1/(x²+a²)dx
＝a/a²∫1/[(tan²u+1)cos²u]du
=1/a∫1/[(sin²u/cos²u+1)cos²u]du
=(1/a)∫du
=u/a+c *
=(1/a)arctan(x/a)+c

*x= a tan u
⇒(x/a) = tan u
⇒u= arctan(x/a)

ということです。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/12 16:28

∫{1/(x^2+a^2)}dx

x=a*tan(u)
とすると
x/a=tan(u)
arctan(x/a)=u

dx=(a/{cos(u)}^2)du

x^2=(a^2){tan(u)}^2
x^2+a^2=(a^2){1+tan(u)}^2
x^2+a^2={a/cos(u)}^2
1/(x^2+a^2)={cos(u)/a}^2

∫{1/(x^2+a^2)}dx
=(1/a)∫du
=u/a+C
=(1/a)arctan(x/a)+C