三角関数の基本極限について

ふたたびの微分積分という本で学習していてわからないところがあり困っています。
Ｐ１３１ページ
https://books.google.co.jp/books?id=tu6MBQAAQBAJ …

sinXやcosXの微分に必要な基本極限に
lim　　1-cosθ/θ^2 　＝1/2
θ→0　
（わかり辛くてすいません）
(1-cosθ)/θ^2の極限＝1/2
が突然本に現れました。

これは、どの様に導かれたのでしょうか？
参考になるサイトなどあればうれしいです。
よろしくお願いいたします。

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2015/01/23 11:45

任意のθについて

cosθ=1-θ^2/2+θ^4/24-θ^6/120+....

となることがティラー展開という方法により示されます(url参照)。実際にこの式はコンピューター

プログラムに組み込んで使うことができます。

θが小さいとき

cosθ=1-θ^2/2

で代用できます。

すると

1-cosθ/θ^2=1/2
　
が出てきます。

もっとまともにやるには任意のθについて成り立つ

cosθ=1-θ^2/2+θ^4/24-θ^6/120+....

を用いて

lim(θ→0)[1-cosθ/θ^2]=lim(θ→0)[1/2-θ^2/24+θ^6/120...　]＝1/2
　
とすることができます。

参考URL：http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~josch …

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2015/01/22 22:21

(1-cosθ)/θ^2=(1-cosθ)(1+cosθ）/（θ^2（1+cosθ））

　　　　　　　　　　=(1-（cosθ)^2)/（θ^2（1+cosθ））
　　　　　　　　　　=(sinθ)^2/（θ^2（1+cosθ））
　　　　　　　　　　=（sinθ/θ）^2/（1+cosθ）
θ→0のとき、
（sinθ/θ）^2→1
1+cosθ→２
なので、求める極限は1/2となります。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
1/2という回答にはたどり着けるのですが、
(1-cosθ)/θ^2がどの様に定義されたものなのかが、理解できません。

何かから導かれたものなのか、定義なのか…。
もうひとつ必要な基本極限ということで、突然現れたので、出所を探しています。
よろしくお願いいたします。

補足日時：2015/01/23 06:58