閉曲線内の領域Dに特異点があるとき

Question

その閉曲線がたとえば四角形だったら各辺をたどるように
∫f(z(t))dz/dtdt みたいにz=x+iyを
x(t)+iy(t)
たとえば
t+it
とかって
tの関数とかとみて積分することと
原始関数を使って積分することの違いはなんですか？
コーシーとか華やかなののまえの話です。
多分原始関数を見いだせるのは
経路によらず
F(z) = ∫z0 -> z 
がzの関数となるからF(a)-F(b)
みらいにz = b -> z = a
の経路によらないときなので領域と曲線上で正則なときだと思いますけど
十分狭く領域を取れば特異点を排除できて、各辺での原始関数による積分の和にできませんか？
（各辺を細くなぞったような領域を考えるイメージ）

ありものがたり · Accepted Answer

＞ けっして 0 ではなく、f(t) の留数に応じた有限の値を持ちます。
＞ はなんとなくいいたいことわかりあましたけど、じゃあこのような領域で積分する
＞ 時どうなりますか？

「留数定理とかやりましたけど」なんじゃないの？
内部に特異点を持つ閉路での積分は、閉路が囲む特異点の留数の合計
を 2πi 倍したものです。それが留数定理ですよね！
その閉路積分の値に、閉路が囲む領域の面積は関係ない。
この事実は、コーシーの積分定理によって保証されます。
面積は閉路積分の値に関係ないので、質問文中の考えのように
積分領域を細かく分割しても、特に関係がないのです。

syotao · Answer

うん、だからある領域で連続であっても、
その領域全部で正則でない関数については
原始関数を定められないってことです。
複素関数では領域で連続な関数がかならずしも
原始関数を持たないのです。

ありものがたり · Answer

＞ コーシーとか華やかなののまえの話です。

その姿勢がいかん。
複素関数の積分が一価正則になるか否かの話をするために
まとめられたのが、コーシーの積分定理です。
それ以前の時代に知られてた知見だけで説明しろ
という要請は、単に怠惰で根性が悪いとしか言いようがない。
勉強しなさい。コーシーの業績は、偉大ですよ。

複素数平面上単連結な領域 D で正則な関数 f(z) に対して、
D の元 a,z を選んで定義する ∫[a,z]f(u)du は一価正則な
関数 F(z) を定めます。

点 a から点 z へ結ぶ連続な曲線 P₁ と P₂ について、
a から z へ P₁ に沿って行って P₂ に沿って戻ってくる
閉路 C を考えると、 f(z) が D 内で正則なことから
コーシーの積分定理より ∮[C]f(t)dt = 0 です。
∮[C]f(t)dt = ∫[P₁]f(t)dt - ∫[P₂]f(t)dt より、
∫[P₁]f(t)dt = ∫[P₂]f(t)dt が従います。
このことは、端点 a, z が決まっていれば、
経路 P₁, P₂ の道筋に依存せず ∫[a,z]f(ｔ)dｔ が決まる  
ことを示しています。

これによって、 a を定めると関数 F(z) = ∫[a,z]f(ｔ)dｔ が
一価に定まる。
以上の話の要点は、コーシーの積分定理より ∮[C]f(t)dt = 0
であることでした。

質問の話題は、閉路 C が囲う領域を細分すると、
ひとつひとつの領域は面積 0 に近いから
その境界を周回して ∮f(t)dt = 0 に近いのはずだ！ というものですね？

それは違います。
もとの C が囲う領域の中に f(z) の特異点が在るならば、
領域をどう細分しても、細分のどれかは特異点を含むことになります。
その細分を囲う閉路での ∮f(t)dt は、領域がどれだけ小さくても
けっして 0 ではなく、f(t) の留数に応じた有限の値を持ちます。
だから、 C が囲う領域の中に f(z) の特異点が在れば、
∫f(t)dt は一価にはならない。

それだけの話です。

syotao · Answer

ある領域でf(z)が連続でf(z)のその領域内での線積分が
道によらない場合、f(z)はその領域で正則である、(モレラの定理）
という定理があるので、お望みのようなことはできないと思いますが...？

閉曲線内の領域Dに特異点があるとき

＞ けっして 0 ではなく、f(t) の留数に応じた有限の値を持ちます。

うん、だからある領域で連続であっても、

＞ コーシーとか華やかなののまえの話です。

ある領域でf(z)が連続でf(z)のその領域内での線積分が

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＞けっして 0 ではなく、f(t) の留数に応じた有限の値を持ちます。

＞コーシーとか華やかなののまえの話です。