閉曲線内の領域Dに特異点があるとき

その閉曲線がたとえば四角形だったら各辺をたどるように
∫f(z(t))dz/dtdt みたいにz=x+iyを
x(t)+iy(t)
たとえば
t+it
とかって
tの関数とかとみて積分することと
原始関数を使って積分することの違いはなんですか？
コーシーとか華やかなののまえの話です。
多分原始関数を見いだせるのは
経路によらず
F(z) = ∫z0 -> z
がzの関数となるからF(a)-F(b)
みらいにz = b -> z = a
の経路によらないときなので領域と曲線上で正則なときだと思いますけど
十分狭く領域を取れば特異点を排除できて、各辺での原始関数による積分の和にできませんか？
（各辺を細くなぞったような領域を考えるイメージ）

質問者からの補足コメント

• 

  "一方、f(z) = 1/z を考えると、(log z)
  ′ = 1/z だから一見原始関数がありそうに見える。しかし、z ∈ C
  を極表示すれば z = reiθ+2πi のような不定性があるから、log z は必然的に log z = log r + iθ + 2πni, n ∈ Z のよう
  な多価性をもつ。複素関数とは与えられた複素数 z に対してただ一つ値が決まる写像のことであるから、log z は実は
  そのままでは関数としての資格がない。したがって、1/z は C において原始関数をもたない。これが n = 1 だけが特
  別であった理由である。"

    補足日時：2024/07/09 19:47