
複素解析を独学で勉強しているものです。恐らく初歩的な勘違いが原因だと思いますが、どなたかご教授頂けると幸いです。どうぞよろしくお願いいたします。
添付の図は以下のリンク先で見ることができるPDFのp145(21章複素積分)に出ているものです。
http://k2.sci.u-toyama.ac.jp/pmath/int2math.pdf
図のような複素平面上の、原点を中心とする半径1の円周上において、始点が(Re(Z), IM(Z))=(1,0), 終点が(0,1)とする2つの経路C2, C3があるとします。
f(z)=1/zをC2, もしくはC3に関して線積分を行った場合、同じ値になると予想しました。
逆向きを負符号を用いて表した場合、C2->-C3は閉曲線になるので、正則であるf(z)のこの閉曲線上での線積分の値はコーシーの積分定理より0になります。
そのため、C3での積分結果はC2と同じ値になると予想したのですが、C2の場合はpi*i/2, C3の場合は-3*pi*i/2でした。
私はどこか勘違いしているのでしょうか?
どなたか教えていただけると幸いです。
どうぞよろしくお願いいたします。

No.1ベストアンサー
- 回答日時:
コーシーの積分定理が使えないから。
コーシーの積分定理は閉曲線で囲まれた領域全てで正則である場合に使えます。
今回の場合、f(z)=1/zはz=0で正則ではありません。C2とC3の逆で囲まれる領域にz=0は含まれるため、この積分は0にはならないのです。
この場合に成り立つのは留数定理となるのですが、今やっているのは留数定理を導くために必要なことなので最低でも一度は計算をやっておくべきでしょう。
ご回答ありがとうございます!
z=0で正則でないことを完全に失念しておりました。
だからC1, C2は積分結果が同じで、C3だけ違うのですね。
ありがとうございました!
No.4
- 回答日時:
ちな、積分路が C1 - C2 なら、コーシーの積分定理により
∮[C1 - C2]{ 1/z }dz = 0 は正しい。
No.3
- 回答日時:
> 逆向きを負符号を用いて表した場合、C2->-C3は閉曲線になるので、
> 正則であるf(z)のこの閉曲線上での線積分の値はコーシーの積分定理より
> 0になります。
ダウト。
定理の成立条件を確認のこと。↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC …
コーシーの積分定理によって閉路積分の値が 0 になるためには、被積分関数が
積分路上だけでなく、積分路が囲む領域内で正則であることが必要。
今回の積分路が囲う領域 |z|≦1 内には、被積分関数 1/z の特異点 z=0 が存在
するので、コーシーの積分定理は成り立たない。
かわりに使うべきは留数定理↓で、この積分について
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/A …
∮[C2 - C3]{ 1/z }dz = (2πi) Res( 1/z; z=0 ) が成立する。
留数 Res の計算は、本でも読んでちゃんと学んでもらうとして、
この例では Res( 1/z; z=0 ) = 1 なので、
∫[C2]{ 1/z }dz = ∫[C3]{ 1/z }dz + (2πi)1
が成立する。
不定積分については、 C2 - C3 を何周してもよいので、
∫{ 1/z }dz = ∫[C2]{ 1/z }dz + (2πi)1・n ;nは任意の整数
となる。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 複素関数について 点aが特異点である関数を考えるとき、留数が0になる場合は、a点を含む閉曲線での積分 1 2023/02/17 12:39
- 数学 複素積分 留数について質問です。 f(z)=1/((z-1)z(z+2)) に対して、閉曲線|z-1 4 2023/05/26 11:35
- 数学 積分の問題について 1 2022/07/07 12:24
- 数学 積分の問題について 2 2022/07/09 14:33
- 数学 次の積分を計算しなさい.積分記号下の |z − a| = r は,a を中心とする半径 r の円に正 2 2022/07/12 14:04
- 数学 積分の問題について 1 2022/06/01 17:34
- 数学 次の積分を計算しなさい.積分記号下の |z − a| = r は,a を中心とする半径 r の円に正 1 2022/07/12 14:02
- 数学 積分の問題について 3 2022/06/02 13:43
- 数学 複素関数と実関数のテーラー展開の違いについて 1 2022/08/09 06:18
- 数学 続・tanxの定積分 3 2024/04/06 12:12
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
積分の数式を声に出して読むと...
-
問1が(√(1+sinx))/(√(1-sinx))d...
-
Cは任意定数.
-
重積分の積分領域について D={(...
-
積分においてxはtに無関係だか...
-
デルタ関数が絡んだ証明問題
-
積分の問題です ∫sinxcosxdxを...
-
積分のパソコン上のの表し方...
-
高校の数学で積分できない関数
-
根号を含む積分範囲の変換につ...
-
複素積分の時に、よく上半円で...
-
3重積分の計算問題
-
答案の答えの表記の方法、PC上...
-
dtの積分が、∫dt=t+Cとなる理...
-
e^(x^2)の積分に関して
-
コンパクトな台
-
複素積分
-
積分(大学)
-
楕円の円周をはかりたいのです...
-
不定積分1/(x^2-4)
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
積分の数式を声に出して読むと...
-
e^(x^2)の積分に関して
-
0の積分
-
高校の数学で積分できない関数
-
積分の問題
-
積分のパソコン上のの表し方...
-
exp(ikx)の積分
-
定積分=0という場合、積分され...
-
積分においてxはtに無関係だか...
-
不定積分∫log(1+x)/x dxが分か...
-
1/x は0から1の範囲で積分でき...
-
数学IIの積分の面積の公式につ...
-
【数学】積分の音符みたいなマ...
-
インテグラル∫とdxについて
-
cosx/xの積分の値について
-
この問題のように積分変数でな...
-
e^(-x^2)の積分
-
積分 e^sinx
-
有限までのガウス積分
-
2乗可積分関数とは何でしょうか?
おすすめ情報