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No.2
- 回答日時:
指数積分関数は英語の
「Exponetial Integral Ei」、「ExpIntegral Function Ei」
に対応し、指数関数を含む通常の指数(関数)積分と区別します。
Eiには2種類の関数Ei(a,x),Ei(x)が定義されており、それぞて複素領域への指数積分関数への拡張が定義されています。
実数領域での変数にはxを使用しEi(a,x),Ei(x)と書きます。
複素領域への拡張した場合の関数ではxの変わりに複素変数zを使って
Ei(a,z),Ei(z)と書きます。
x=real(実数)の範囲での定義
Ei(x)≡∫[-∞→x] exp(t)/t dt
≡ -∫[-x→∞] exp(-t)/t dt
(≡は本来、合同の記号ですがここでは定義の意味で使います)
Ei(1,-x)≡∫[1→∞] exp(-tx)/t dt
性質:Ei(x)=-Ei(1,-x) (x<0)
z=complex(複素変数)の複素領域への拡張
Ei(z)≡-∫[z→∞] exp(-t)/t dt = ∫-∞-z exp(t)/t dt
=γ+ln(z)+Σ[k=1→∞](z^k)/(k*k!)
ここで、γ=0.57721566 ... (オイラーの定数)
Ei(a,z)≡∫[1→∞] exp(-zt)/(t^a) dt (Re(z)>0)
=z (n-1) Γ(1-n, z) (Γ(n,x)=ガンマ関数)
Eiは超越関数(特殊関数)ですので関数記号としてそのまま(sin(x),exp(x)のように)Ei(x)、Ei(1,x)のように式中使います。もちろん、xに数値が入れば数値計算が出来ますので関数の値が与えられます。
数値計算や関数のグラフについては参考URLのサイトの
指数積分Ei(x)およびEn(x)=Ei(n,x)
の所をご覧下さい(無料サイト)。
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