ファジィ理論について教えてください

「あいまいさ」を定量的に評価できるファジィ理論というものがあるのを最近知りました。
また、メンバーシップ関数というものを用いることで、要素xがファジィ集合Aに属する度合いを用いることができると知りました。

大学の講義中に、回帰を行う際に、すべての点を通る関数を同定するのは難しいので推定する関数がどれくらいの範囲までの点のそばを通ってもよいか許す指標としてファジィのメンバーシップ関数の積を定義するとよい、とおっしゃっていたのですが、いまいち意味が分かりませんでした。
回帰を行う際に適応度を定量化するための評価指標として平均２乗誤差などがあると思いますが、この評価指標にファジィ理論のメンバーシップ関数を用いることができるのでしょうか。

ファジィ理論について勉強を始めたばかりなので頓珍漢な質問をしていたら申し訳ありません。
ご回答よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/12 21:58

> 「あいまいさ」を定量的に評価できる

　そんなことは無理です。「曖昧さ」になんとなく似てる気がする尺度としてmembership function（特性関数）の値を使うというだけのこと。「曖昧さ」を的確に表しているわけではなく、所詮はアナロジーにすぎません。
　普通の集合（fuzzy集合と対比するときには「crisp集合」と呼ぶ）にもmembership functionがあります。集合Tのmembership functionをt(x)とすると、xがTに属するかどうかで、t(x)は1か0どっちかの値になる。一方、fuzzy集合では membership functionが1でも0でもない値も取りうる。よく行われるのは「membership functionは0以上1以下の実数値とする」というやり方です。（以下では、このやり方を採用するものとします。）

> メンバーシップ関数の積

Fuzzy集合A, Bのmembership functionをそれぞれa(x), b(x)とするとき、
　　c(x) = a(x)b(x)
という関数をmembership functionとするfuzzy集合Cを考えることができる、ということです。

> どれくらいの範囲までの点のそばを通ってもよいか許す指標

いや、「点を無視しない範囲を指定するための指標」では？

　例えば「-1≦x≦1の範囲にN個のデータ(x[k], y[k]))が与えられているんだけど、これがキレイに並んでいるわけではない」とする。ここに回帰曲線を描きたい。さて、「xが小さい範囲L」「xが中くらいの範囲M」「xが大きいの範囲H」のようなfuzzy集合を考える。「Mのmembership function mを
　　m(x) = (x^2 - 1)^2,
Lのmembership function lを
　　l(x)=(x>0なら0, さもなくば1-(x^2 - 1)^2),
Hのmembership function hを
　　h(x) = (x<0なら0, さもなくば1-(x^2 - 1)^2)）
とか、自分で勝手に決めるんです。また、「yが小さい範囲B」「yが大きい範囲S」のようなfuzzy集合を考える（それぞれのmembership function b, sも、もちろん自分で決める）。そして、パラメータのベクトルθを含むモデルf(θ,x)について、例えば残差の2乗
　　 (y[k] - f(θ,x[k]) )^2
で重み付きの最小二乗法をやる。この時に重みを
　　w[k] = h(x[k])s(y[k])
と与えれば「xが大きい範囲で、かつ、yが小さい範囲に重点を置いてfitting」をやったことになるわけです。

　membership function の選び方に恣意性があるし、恣意的に選んだ特定の範囲のデータを選別している。だからこんなことやったって、何かを論証する、という目的には全く使えません。ですが、（手抜きの）制御システムを構成する、というような目的になら使える。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/12 16:11

自分で調べるなり、書籍を買って勉強するなりしてください。

こんなところで、数行の文章で説明・理解できるなどとは考えていないでしょうね？