なぜ部分積分をする時に、∮2x(x^2+1)^3は部分積分が使えないのですか？

なぜ部分積分をする時に、∮2x(x^2+1)^3は部分積分が使えないのですか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/07 23:49

普通に考えれば、 u = x^2 と置いて

∫ 2x(x^2 + 1)^3 dx = ∫ (x^2 + 1)^3・2xdx
　　　　　　　　　= ∫ (u + 1)^3・du　　= (1/4)(u + 1)^4 + C　；Cは定数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= (1/4)(x^2 + 1)^4 + C
だけど、部分積分ももちろん使えます。
例えば、
∫ 2x(x^2 + 1)^3 dx = ∫ 2x・(x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1) dx
= 2x・((1/7)x^7 + (3/5)x^5 + x^3 + x) - ∫ 2・((1/7)x^7 + (3/5)x^5 + x^3 + x) dx
= 2x・((1/7)x^7 + (3/5)x^5 + x^3 + x) - 2{ (1/7)(1/8)x^8 + (3/5)(1/6)x^6 + (1/4)x^4 + (12/)x^2) } + D　；Dは定数。
多項式を展開して比較してみましょう。上記ふたつの解は同じ多項式になっています。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/03 16:00

どの変数で, どういう経路で周回積分するんだろう.

さておき, どのように部分積分するつもり?