部分積分の積分定数

いつもお世話になっています。

部分積分の公式は積の導関数
　(fg)' = f'g + fg'
の両辺を積分して変形すれば出てくると思うのですが、
そのとき
　fg = ∫f'g dx + ∫fg' dx + C
のように積分定数をつけなくてもいいのはなぜですか？

No.2 回答者： orcus0930 回答日時： 2009/09/20 12:43

まだ積分が残ってるから、書いてないだけ。

別に書いても問題ないが、
最終的に∫を計算し終えたときに、
まとめて1つの積分定数にするんだから、
書かなくても問題はない。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

書いた場合も
　fg = ∫f'g dx + ∫fg' dx + C_0
　　= (F(x) + C_1) + (G(x) + C_2) + C_0
　　= F(x) + G(x) + (C_0 + C_1 + C_2)
となって、C_0 + C_1 + C_2 をまとめて C とすればいいだけだと理解しました。

ありがとうございました。

お礼日時：2009/09/20 14:09

No.1 ベストアンサー 回答者： gohtraw 回答日時： 2009/09/20 10:44

部分積分に限らず、∫f'g dx とか∫fg' dx の中に積分定数が含まれているためではないでしょうか。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

自分では ∫f'g dx や ∫fg' dx も関数だから
　F(x) = ∫f'g dx
　G(x) = ∫fg' dx
と書けるはずなので
　fg = F(x) + G(x) + C
のようにならないとだめなんじゃないかと思っていたのですが、
正しくは
　F(x) + C_1 = ∫f'g dx
　G(x) + C_2 = ∫fg' dx
のようになっているので、すでに
　fg = ∫f'g dx + ∫fg' dx
　　　= F(x) + G(x) + (C_1 + C_2)
となっているということですね。

ようやくなぞが解けました。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/09/20 13:19