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∫∫e^{-(x+y)^2} dxdy (積分領域はx≧0,y≧0)
の求め方が分かりません。
色々置き換えなどをやってみたのですが
(例えばx+y=u,x=vとかx+y=u,x-y=vなど)
うまくいきません。
どなたか教えていただけないでしょうか?
よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (4件)

u=x+y,v=xとおくと、積分範囲は、D={(u,v)|u≧0, 0≦v≦u}


ヤコビアンを考えて、dxdy=dudv

∫∫_{D} e^(-u^2) dudv
=∫{u:0→∞}e^(-u^2)*{∫{v:0→u}dv}du
=∫{u:0→∞}ue^(-u^2)du
=[(-1/2)*e^(-u^2)]
=1/2

・・・極座標より、よっぽど簡単だと思いますが。
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この回答へのお礼

うまくいきました。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2003/12/28 20:58

No.1 の siegmund です.



kony0 さんと grothendieck さんのような変数変換の方が簡単でした.
やっぱりちゃんとやってみないといけませんでした.
u,v の積分範囲がからむので,e^(-u^2) の有限範囲の積分(つまり誤差積分)が
現れそうだと早合点してしまいました.
答を間違えなかったので,そこだけは何とかよかったけれど.

kony0 さん,grothendieck さん,ご指摘ありがとうございました.
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gouwu-xさん、こんにちは。

私は最初これはガウス積分で√πが出てくるはずではと思いましたが、そうではないようです。参考のため、siegmund先生が書かれているx+y=u,x-y=vの変数変換でやってみましょう。x=(1/2)(u+v), y=(1/2)(u-v)なのでx≧0,y≧0は(u,v)平面では(u+v)≧0, (u-v)≧0になります。ヤコビアンを計算すると-1/2で、重積分をvの積分からするとvの範囲は-u≦v≦uなので
 ∫e^{-(x+y)^2} dxdy
=(1/2)∫[0~∞]du∫[-u~u]dv e^{-u^2}
=∫[0~∞]du u e^{-u^2}
=(-1/2) e^{-u^2}|[0~∞]
= 1/2
となります。

この回答への補足

回答ありがとうございました。
この計算結果から∫[0→∞] e^(-x^2)dx
の値が求められるそうなのですが分かりますか?
答えが√Π/2になるのは有名ではありますが・・・

補足日時:2003/12/28 21:45
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(1)  I = ∫∫e^{-(x+y)^2} dxdy  (積分領域はx≧0,y≧0)



標準的には極座標でしょう.
x = r cosθ,y = r sinθ
とすると
(2)  I = ∫{0~π/2}dθ ∫{0~∞} e^{-r^2 (cosθ+sinθ)^2} r dr
ですが,r の積分は簡単にできて
(3)  I = (1/2) ∫{0~π/2}dθ {1/(cosθ+sinθ)^2}
     = (1/2) ∫{0~π/2}dθ {1/[1+sin(2θ)]}
になります.
積分公式
(4)  ∫ {1/[1+sinφ]} dφ = tan(φ/2 - π/4)
を使えば,(3)の最終辺も積分できます.
係数のあたりはお任せしますが,最終的には I=1/2 と思います.
計算ミスやタイプミスもあるかも知れませんから,チェックもよろしく.

なお,x+y=u,x-y=v のような置き換えでもできるはずと思いますが,
u,v の積分範囲がからみますから,極座標の方が簡単でしょう.
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