∫exp{i(k-k')x dx =δ(k'-k)

∫exp{i(k-k')x dx =δ(k'-k)
積分範囲は(-∞,∞)
となる理由がよくわかりません。
k=k'のときは被積分関数が1となるので無限大に発散することはわかるのですが
k≠k'のとき被積分関数はcosとsinが出てきてそれを無限積分すると
発散（振動）するのではないかと思います。
なぜk≠k'のとき積分値が0になるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2010/04/21 23:53

この質問、多いですね。

δ関数は本来は極限で定義される超関数なので、
普通の意味の積分では求められないのです。

前に書いた回答がありますのでどうぞ。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5544688.html

あと、このwikipediaの「Sinc 関数による近似」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%CE%94%E9%96%A2%E6% …

も参照してください。

この回答への補足

ではこの積分はデルタ関数を表わす式で
右辺→左辺の書き方が普通なのですか？
sinやcosの無限積分は発散しますよね？

補足日時：2010/04/23 13:53

No.2 回答者： post_iso 回答日時： 2010/04/22 14:02

f(x)=δ(x)をフーリエ変換すると

F(k)=∫e^{-ikx}δ(x)dx
　　 =1
となります。

これをフーリエ逆変換をすることで

f(x)=
δ(x)=(1/2π)∫e^{ikx}dk

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
ではeをsin,cosに直して積分する
方法は間違っているのでしょうか？
そもそもsin,cosに直してはいけないのですか？

補足日時：2010/04/23 13:50

No.3 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2010/04/23 15:07

＞sinやcosの無限積分は発散しますよね？

発散はしません．発散と不定は全く違うので区別してください．

＞右辺→左辺の書き方が普通なのですか？

フーリエ解析のときは普通です．

が，それ以外でこのタイプの積分に出会ったことはないので，
この積分が出てきたらまず間違いなくフーリエです．
その意味でこの積分をデルタ関数で書くのは普通です．

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます

お礼日時：2010/05/16 12:14