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- 回答日時:
-π<x≦π、f(x)=|sinx|+1 である周期関数f(x)のフーリエ級数が
f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1~∞}{a(n)cos(nx)+b(n)sin(nx)}
a(n)=(1/π)∫_{-π~π}f(x)cos(nx)dx (n=0,1,2,…)
b(n)=(1/π)∫_{-π~π}f(x)sin(nx)dx (n=1,2,…)
ならば
a(0)
=(1/π)∫_{-π~π}f(x)dx
=(1/π)∫_{-π~π}(|sinx|+1)dx
=(1/π)∫_{-π~π}dx+(1/π)∫_{-π~π}|sinx|dx
=2+(1/π)∫_{-π~0}(-sinx)dx+(1/π)∫_{0~π}sinxdx
=2+(1/π)∫_{π~0}(sint)(-dt)+(1/π)∫_{0~π}sinxdx
=2+(1/π)∫_{0~π}sintdt+(1/π)∫_{0~π}sinxdx
=2+(1/π)∫_{0~π}sinxdx+(1/π)∫_{0~π}sinxdx
=2+(2/π)∫_{0~π}sinxdx
=2+(2/π)[-cosx]_{0~π}
=2+(4/π)
n≧1のとき
a(n)
=(1/π)∫_{-π~π}(|sinx|+1)cos(nx)dx
=(1/π)∫_{-π~π}cos(nx)dx+(1/π)∫_{-π~π}|sinx|cos(nx)dx
=(1/π)[sin(nx)/n]_{-π~π}+(1/π)∫_{-π~π}|sinx|cos(nx)dx
=(1/π)∫_{-π~π}|sinx|cos(nx)dx
=(1/π)∫_{-π~0}|sinx|cos(nx)dx+(1/π)∫_{0~π}|sinx|cos(nx)dx
=(1/π)∫_{-π~0}(-sinx)cos(nx)dx+(1/π)∫_{0~π}(sinx)cos(nx)dx
=(1/π)∫_{π~0}(sint)cos(nt)(-dt)+(1/π)∫_{0~π}(sinx)cos(nx)dx
=(1/π)∫_{0~π}(sint)cos(nt)dt+(1/π)∫_{0~π}(sinx)cos(nx)dx
=(1/π)∫_{0~π}(sinx)cos(nx)dx+(1/π)∫_{0~π}(sinx)cos(nx)dx
=(1/π)∫_{0~π}2(sinx)cos(nx)dx
=(1/π)∫_{0~π}(sin{(n+1)x}-sin{(n-1)x})dx
n=1のとき
a(1)
=(1/π)∫_{0~π}sin(2x)dx
=(1/π)[-cos(2x)/2]_{0~π}
=0
n≧2のとき
a(n)
=(1/π)∫_{0~π}(sin{(n+1)x}-sin{(n-1)x})dx
=(1/π)[-cos{(n+1)x}/(n+1)+cos{(n-1)x}/(n-1)]_{0~π}
=(1/π)[(1-cos{(n+1)π})/(n+1)+(cos{(n-1)π}-1)/(n-1)]
=(1/π)[(1+(-1)^n)/(n+1)+{(-1)^(n-1)-1}/(n-1)]
n=2m≧2のとき
a(n)
=(1/π){2/(n+1)-2/(n-1)}
=4/{π(1-n^2)}
n=2m+1のとき
a(n)=0
b(n)
=(1/π)∫_{-π~π}f(x)sin(nx)dx
=(1/π)∫_{-π~π}(1+|sinx|)sin(nx)dx
=0
∴
f(x)=1+(2/π)+Σ_{m=1~∞}(4/{π(1-4m^2)})cos(2mx)
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