f(x) を周期 T >0 の周期関数とするとき ∫(0~x)f(t)dt が周期 T >0の周期関

f(x) を周期 T >0 の周期関数とするとき ∫(0~x)f(t)dt が周期 T >0の周期関数であるための必要十分条件は ∫(0~T)f(t)dt = 0 であることを示せという問題が分か
らないので教えてほしいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/13 19:43

必要性：

F(x) = ∫(0~x)f(t)dt が周期 T を持つなら、
∫(0~T)f(t)dt = F(T) = F(0) = ∫(0~0)f(t)dt = 0.

十分性：
∫(0~T)f(t)dt = 0 が成り立つなら、
F(x+T) = ∫(0~x+T)f(t)dt = ∫(0~T)f(t)dt + ∫(T~x+T)f(t)dt
= 0 + ∫(0~x)f(u+T)du　；t=u+Tで置換
= 0 + ∫(0~x)f(u)du　　；f()は周期Tを持つ
= F(x).

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/13 19:38

T>0

f(x+T)=f(x)
----------
∫_{0～x}f(t)dtが周期T>0の周期関数ならば

∫_{0～x+T}f(t)dt=∫_{0～x}f(t)dt
↓x=0とすると
∫_{0～T}f(t)dt=∫_{0～0}f(t)dt
↓∫_{0～0}f(t)dt=0だから
∴
∫_{0～T}f(t)dt=0
である
---------------
∫_{0～T}f(t)dt=0ならば

∫_{0～x+T}f(t)dt-∫_{0～x}f(t)dt
=∫_{x～x+T}f(t)dt
=∫_{x～T}f(t)dt+∫_{T～x+T}f(t)dt
=∫_{x～T}f(t)dt+∫_{0～x}f(s+T)ds
↓f(s+T)=f(s)だから
=∫_{x～T}f(t)dt+∫_{0～x}f(s)ds
=∫_{x～T}f(t)dt+∫_{0～x}f(t)dt
=∫_{0～x}f(t)dt+∫_{x～T}f(t)dt
=∫_{0～T}f(t)dt
=0

∴
∫_{0～x+T}f(t)dt=∫_{0～x}f(t)dt
だから
∫_{0～x}f(t)dtは周期T>0の周期関数である
---------------------
∴
∫_{0～x}f(t)dtが周期T>0の周期関数であるための必要十分条件は
∫_{0～T}f(t)dt=0である