常微分方程式

dx/dt = x + y
dy/dt = -x + y
をx(0) = y(0) = 1000の初期条件の下で解けという問題です。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/21 20:28

微分演算子をつかって

　(D-1)x=y・・・・①
　(D-1)y=-x
→ (D-1)²x=(D-1)y=-x
→ (D²-2D+2)x=0
この方程式の解はよく知られており、特性式
　D=1±√(1-2)=1±i
から
　x=e^t(Acost+Bsint)
となる。

これを①に入れると
　y=e^t(Acost+Bsint)+e^t(-Asint+Bcost)-e^t(Acost+Bsint)
　　=e^t(-Asint+Bcost)
初期条件から
　1000=x(0)=A
　1000=y(0)=B
したがって
　x=1000e^t(cost+sint)
　y=1000e^t(cost-sint)