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- 回答日時:
[0,1]上の関数
0<x≦1の時 f(x)=sin(1/x)
f(0)=0
の零点集合
{x;f(x)=0}
f(x)=0となるxは
x=0 の時か
または
0<x≦1の時
sin(1/x)=0となる時で
sin(1/x)=0となる時は
1/x=nπ となる整数nがある時で
1/x=nπ となる整数nがある時は
0<x=1/(nπ)≦1だから1<nπだから
{x;f(x)=0}=∪_{n=1~∞}{1/(nπ)}∪{0}
の測度
μ{x;f(x)=0}
=
μ(∪_{n=1~∞}{1/(nπ)}∪{0})
=
Σ_{n=1~∞}μ{1/(nπ)}+μ{0}
1点集合の測度=0=μ{1/(nπ)}=0=μ{0}=0だから
=0
だから
{x;f(x)=0}=∪_{n=1~∞}{1/(nπ)}∪{0}
は零集合である
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