測度論の問題です。

測度論です

(X, E, m) を測度空間, f, g, h : X → R を可測関数とするとき,「f(x) = g(x) a.e. x ∈ X」かつ「g(x) = h(x) a.e. x ∈ X」であるならば「f(x) = h(x)a.e. x ∈ X」であることを示せ。
お願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/27 16:30

「f(x)=g(x) a.e. x∈X」ってのは、∫_{x∈X | f(x)≠g(x)} dm(x) = 0 ってことだよね？

f(x)=g(x) かつ g(x)=h(x) ならば f(x)=h(x) が成り立つから、対偶をとって
{x∈X | f(x)≠h(x)} ⊂ {x∈X | f(x)≠g(x)} ∪ {x∈X | g(x)≠h(x)} です。
よって、
0 ≦ ∫_{x∈X | f(x)≠h(x)} dm(x) ≦ ∫_ {x∈X | f(x)≠g(x)}∪{x∈X | g(x)≠h(x)} dm(x)
　　　　　　　　　　　　　　≦ ∫_ {x∈X | f(x)≠g(x)} dm(x) + ∫_{x∈X | g(x)≠h(x)} dm(x)
　　　　　　　　　　　　　　= 0 + 0.
すなわち、「f(x)=h(x) a.e. x∈X」。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/26 21:23

「f(x) = g(x) a.e. x ∈ X」ってどう定義してるの?