No.3ベストアンサー
- 回答日時:
n:奇数の場合。
n=2k+1とおくと
∫(cosθ)^(2k+1)dθ=∫{(cosθ)^2}^k*cosθdθ=∫{1-(sinθ)^2}^k*cosθdθ
ここでt=sinθとおくと、dt/dθ=cosθであるから
与式=∫(1-t^2)^kdt
となります。以下略
n:偶数の場合。あなたのやり方が一番よいでしょう。展開の際、奇数乗のものが出てきたら上の方法で計算する。
高校数学を逸脱すれば、
cosθ={e^(iθ)+e^(-iθ)}/2
を使って変形する方法があります。
この式を使うと
(cosθ)^6=(1/32)*cos6θ+(3/16)cos4θ+(15/32)cos2θ+5/16
程度の式は2分とかからず導出できるのでそれから積分を行えばよい。
sinθについてはt=π/2-θとでも変数変換すればcosの式になります。
No.2
- 回答日時:
>自分は、倍角の公式から(cosθ)^2=1/2*
>(cos2θ+1)を出します。それを掛け合わせて出た値がまたcos2θの何乗か
>になってしまってたらさらに
>(cos2θ)^2=1/2*(cos4θ+1)を使って……というようなことを繰り返すのです
それが必ずできる方法です。
ベキ乗数が少ない場合はそうした方が良いでしょう。
ただし、計算の過程で以下のような積分項がでたら
kを任意の正整数,C1,C2を積分定数としてとして
∫(sinθ)^k*cosθdθ={(sinθ)^(k+1)}/(k+1)+C1
∫(cosθ)^k*sinθdθ=-{(cosθ)^(k+1)}/(k+1)+C2
という積分公式を使って簡単化してやります。
No.1
- 回答日時:
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