数学1 二次関数の最大・宰相に関して

写真の(2)が、解説では2x+yをtとおいて…みたいな作業をして最大値最小値を求めているのですが、写真のようにx^2-2xy+2y^2=2を、xの方程式、yの方程式と見てそれぞれ判別式から範囲を出して…と言うやり方ではなぜダメなのでしょうか？因みに(2)の答えは、x=5√26/13、y=3√26/13で最大値√26、x=-5√26/13、y=-3√26/13で最小値-√26です。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/14 12:39

史上最大の宰相はビスマルクかな。

問題文がよく読めないけど、（２）は「2x + y」の最大・最小を求めるんですよね？
だったら「t = 2x + y」を変数として、その変数の最大・最小を求めるのが一番の近道でしょう。

＞写真のようにx^2-2xy+2y^2=2を、xの方程式、yの方程式と見てそれぞれ判別式から範囲を出して…と言うやり方ではなぜダメなのでしょうか？

それで求まるのは「x の取りうる範囲」「y の取りうる範囲」であって、それが「同時に成り立つかどうか」はどうやって調べますか？

例えば、x=2 のときには、与式は
　4 - 4y + 2y^2 = 2
なので、変形して
　y^2 - 2y + 1 = 0
→　(y - 1)^2 = 0
→　y=1
であって、y は「最大値 √2」ではありません。

また、x=-2 のときには、与式は
　4 + 4y + 2y^2 = 2
なので、変形して
　y^2 + 2y + 1 = 0
→　(y + 1)^2 = 0
→　y=-1
であって、y は「最小値 -√2」ではありません。

つまり「x が最大のとき y も最大になる」「x が最小のとき y も最小になる」とは限らないので、x と y の最大・最小を個別に調べても意味がないのです。
あくまで「2x + y」というセットで「最大・最小」を調べないといけません。