数学の問題で答えを見てもイマイチ理解できないのでどなたか解説お願いします！(*´ｰ`*人)

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No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2018/03/26 12:09

2)微分でも平方完成でもよい！

1)は、x+y=4 ………(1)
x^2+y^2=(x+y)^2ー2xy=4^2ー2xy=16ー2xy
ここで、この値をkとおけば、16ー 2xy=k ∴ 2xy=16ーk ∴ xy=8ーk/2 …(2)
kの値が、最大値をとるには、(2)より、xyが最大値をとればいいので、
1次関数 (1)の条件で、xyの最大値は、(2,2)のときなので、
よって、(2)より、2・2=8ーk/2 ∴ k/2=8ー4=4 ∴k=8
故に、x=y=2 のとき 最小値は、8

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/03/26 04:52

(1)x²+ y²は式(1)のように変形できます。

x²+ y²={(x+y)²+ (x-y)² }/2＿＿(1)
これにx+y=4を入れると式(2)となる。
x²+ y²={4²+ (x-y)² }/2＿＿(2)
(x-y)²≧0が成立つから、(x-y)² の最小値は０で、その時、(x-y)² =0からx=y。
x+y=4から、x=y=2で、
x²+ y²={4²+ 0 }/2=8となる。
別解x+y=4からy=4-x
これをx²+ y²に入れるとx²+(4-x)² =2x²-8x+16となる。
これをxで微分して0と置けば、4x-8=0より
x=4の時、最小値8となる。
(2)　y= -2x²+2ax+a²-1＿＿(1)
は式(2)のように変形できます。
y= -2(x-a/2)²+ (3/2)a²-1＿＿(2)
-2(x-a/2)²≦0が成立つから、-2(x-a/2)²の最大値は0で、
それはx=a/2のときy= (3/2)a²-1が最大値となる。
別解：式(1)をxで微分して０とすると、
dy/dx=-4x+2a=0＿＿(3)
これよりx=a/2のときyは最大値となり、x=a/2を式(1)に入れると
y= (3/2)a²-1となる。

No.2 回答者： 海月9664 回答日時： 2018/03/24 19:48

⑴従属多変数関数 (2種類以上の変数の間に関係式のある関数)は置換・消去しましょう。

つまり変数を1種類にするのです。その後はここではただの二次関数の最小最大と同じです。

x+y=4より y=4−x
よって
x^2+y^2
＝x^2+(4−x)^2
＝2x^2−8x+16
＝2(x−2)^2+8
以上より
x＝2,y=2(※このyは関係式x+y=4にx＝2を代入して求めた)で最小値8をとる。

⑵aはただの定数ですのでxだけに注目していつもの二次関数のやり方(平方完成)で突破できます。

y
＝−2x^2+2ax+a^2−1
＝−2(x^2−ax)+a^2−1
＝−2(x−a/2)^2+3a^2/2−1
よって
x＝a/2で最大値(3a^2/2−1)をとる。

余談ですが可能なら毎回グラフを描くようにしていた方がいいです^ ^

No.1 回答者： Dr-Field 回答日時： 2018/03/24 19:33

(1)

x^2＋y^2＝(x＋y)^2－2xy＝16－2xy
故に、x＋y＝4の条件下でxyが最大の場合にx^2＋y^2が最小になることがわかる。
xy＝x(4‐x)＝－x^2＋4x＝－(x－2)^2＋4より、xyはx＝2の時に最大値4となり、その時はy＝2
x^2＋y^2＝16－2×4＝8
故に、x＝2、y＝2の時、x^2＋y^2は最小値8となる。

(2)
y＝－2x^2＋2ax＋a^2－1
＝－2(x^2－ax)＋a^2－1
＝－2(x－a/2)^2＋(a^2/2)＋a^2－1
＝－2(x－a/2)^2＋(3/2)a^2－1
答え：最大値は (3/2)a^2－1