積木式の解き方がよくわかりません

こんにちは。
お世話になります。

表題にありますように、積木式、と言うのでしょうか、下記のような問題の解き方を理解することができず、困っております。
本来であれば、質問に際し、その問題の図をそのまま載せるべきなのですが、
必要な機器等がございませんので、□で代用させていただきます。
申し訳ございません。

問：
立方体の積木を重ねたものを正面と右の2方向から見ると、それぞれ図のようになる。
この時使っている積木の数として考えられる最大の数と最小の数の差はいくつか。

図：
【正面】

　□
□□
□□□

※上記図では、真ん中列の□の列と最右列の□の上下間に微妙なずれがありますが、
実際の図ではありません。

【右】
　□
□□
□□□

解説：
上から2段目はどうでしょう。正面と右から見た図を考えます。
まずは最小の2個の場合を考えましょう。

【正面】
　□
■■
□□□

【右】
□
■■
□□□

「よって、積木の最小の個数は2個、最大の個数は4個です。」
とありますが、なぜ、この図からこのような考え方を導き出せるのかがよく分りません。
そもそも、どうして、このような図をかけるのかもよく理解できないのです。

3段目、1段目も同様な解説が行われておりますが、全く分かりません。

どなたか、お力を貸してはいただけないでしょうか？

宜しくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： queswer93 回答日時： 2013/10/06 21:04

jiqimao80さん、こんばんは。

僕のわかる範囲でお答えします。

とりあえず、解説と同じように上から２段目について考えてみましょう。
このような立体の形を考える問題では、正面・側面（今回は右）・上と３方向から
それぞれどのように見えるかについて考察するのが有益だと思います。
今回は、問題文に正面と右からの見え方が指示されているので、残りの「上からどう見えるか」
という点から考えてみます。

立方体の積木の山を上から見ると、同じ形の正方形が並んで見えます。
このとき、「正面からは積木２個が並んで見える」ことから、
上から見ると横方向に積木２個（１個でも３個でもない）が並んでいるはずです（条件１）。
ただし、この２個はくっついているかもしれないし、前後にずれているかもしれません。

同じように、「右からは積木２個が並んで見える」ことから、
上から見て縦方向にも２個が並んでいるはずです（条件２）。

そうすると、２段目について上の２つの条件を満たす積み方の最大数は、
２×２＝４個、つまり横に２個・縦に２個をくまなく敷き詰めた形になることがわかります。
jiqimao80さんの図の表し方で言うと、上から見て
　　□□
　　□□
となります。

次に、最小数について考えます。
要するに、上の最大数の形から、２条件を満たすようにいくつ減らせるかを考えればいいはずです。
１個減らせることはすぐにわかりますね。
　　□
　　□□
例えば上のような形になります。
さらに、上の図で左下の１個を減らし、
　　□
　　　□
としても（つまり２個を対角線上に並べる）、２条件を満たすことがわかります。

あとは、１段目と３段目についても、同様に考えていけると思います。
上から１段目は、正面から１個・右から１個なので、最大数が１×１＝１個となり、
これ以上減らせません。
上から３段目は、最大数が３×３＝９個であり、最小数は３個の積木を上から見て対角線上に並べた形になることがわかります。
そして最後に、各段の最小の並べ方を積み重ねられることも確認できます。
図にすると上から見て以下の通りになります。
　　□（３段目と２段目）
　　　□（３段目と２段目と１段目）
　　　　□（３段目）
もしくは
　　　　□（３段目）
　　　□（３段目と２段目と１段目）
　　□（３段目と２段目）

以上より、
最大数：１＋４＋９＝１４個
最小数：１＋２＋３＝６個
であり、よって最大数と最小数の差は１４－６＝８個となります。

解説と答えが一致していることを祈ります（笑）

この回答へのお礼

queswer93様、お世話になります。
誠に丁寧かつ詳細なご説明、本当にありがとうございます。
なるほど、こうだったのですね！
今まで頭の中でこんがらがっていたものが、やっと納得することができました。
テキストの解説より、ずっとわかりやすいです。
本当にありがとうございます。

お礼日時：2013/10/06 21:30

No.1 回答者： j-mayol 回答日時： 2013/10/06 20:59

一段ずつ平面図（真上から見た図）を描いて考えるのです。

一段目について考えると、正面から見たときの三列ＡＢＣに最低１つずつ積み木がないと
正面から見たときの図に合わなくなってしまいます。
右から見たときの三列アイウについても同様です。
両者を考え合わせると１段目には最大９個の積み木が置ける可能性があります。
逆に最低３個でもかまわないことになります。
例えば添付図の一番右のように網掛け部分に積み木を置けば正面から見たときも
右から見たときも３列共に積み木があるように見えます。
２段目も同様に考えます。
実際に解くときは２段目から考えるのが良いでしょう。なぜなら２段目で置くべき場所の
下に積み木がないと上には重ねておくことができないので、２段目の必要な場所の下に
積み木を置く形で１段目を決めていく必要があるからです。

この回答へのお礼

丁寧かつ詳細なご説明、有難うございます。
ご添付くださいました図を見まして、やっと納得することができました。
本当に有難うございました。

お礼日時：2013/10/06 21:28